Question

方法1：
C（n，r）= n！/（n-r）！r！

方法2：
在Combinatorial Algorithms by wilf一书中，我发现了这一点：
C（n，r）可以写成C(n-1,r) + C(n-1,r-1)。

e.g。

C(7,4) = C(6,4) + C(6,3) 
       = C(5,4) + C(5,3) + C(5,3) + C(5,2)
       .   .
       .   .
       .   .
       .   .
       After solving
       = C(4,4) + C(4,1) + 3*C(3,3) + 3*C(3,1) + 6*C(2,1) + 6*C(2,2)

如您所见，最终解决方案不需要任何乘法。在每种形式C（n，r）中，n == r或r == 1.

以下是我实施的示例代码：

int foo(int n,int r)
{
     if(n==r) return 1;
     if(r==1) return n;
     return foo(n-1,r) + foo(n-1,r-1);
}

请在此处查看output。

在方法2中，存在重叠的子问题，我们正在调用递归来再次解决相同的子问题。我们可以使用Dynamic Programming来避免它。

我想知道哪个是计算C（n，r）的更好方法？

Answer 1

这两种方法都可以节省时间，但第一种方法很容易integer overflow。

方法1：

这种方法将在最短的时间内生成结果（最多n/2次迭代），并且可以通过仔细进行乘法来减少溢出的可能性：

long long C(int n, int r) {
    if(r > n - r) r = n - r; // because C(n, r) == C(n, n - r)
    long long ans = 1;
    int i;

    for(i = 1; i <= r; i++) {
        ans *= n - r + i;
        ans /= i;
    }

    return ans;
}

此代码将从较小的一端开始乘以分子，并且由于任何k个连续整数的乘积可被k!整除，因此不存在可除性问题。但是溢出的可能性仍然存在，另一个有用的技巧可能是在进行乘法和除法之前将n - r + i和i除以它们的GCD（并且可能发生仍然溢出）。

方法2：

在这种方法中，您实际上将构建Pascal's Triangle。动态方法比递归方法快得多（第一个是O(n^2)，而另一个是指数）。但是，您也需要使用O(n^2)内存。

# define MAX 100 // assuming we need first 100 rows
long long triangle[MAX + 1][MAX + 1];

void makeTriangle() {
    int i, j;

    // initialize the first row
    triangle[0][0] = 1; // C(0, 0) = 1

    for(i = 1; i < MAX; i++) {
        triangle[i][0] = 1; // C(i, 0) = 1
        for(j = 1; j <= i; j++) {
            triangle[i][j] = triangle[i - 1][j - 1] + triangle[i - 1][j];
        }
    }
}

long long C(int n, int r) {
    return triangle[n][r];
}

然后，您可以在C(n, r)时间内查找任何O(1)。

如果您需要特定的C(n, r)（即不需要完整的三角形），则可以通过从上到下覆盖三角形的同一行来使内存消耗O(n)。

# define MAX 100
long long row[MAX + 1]; // initialized with 0's by default if declared globally

int C(int n, int r) {
    int i, j;

    // initialize by the first row
    row[0] = 1; // this is the value of C(0, 0)

    for(i = 1; i <= n; i++) {
        for(j = i; j > 0; j--) {
             // from the recurrence C(n, r) = C(n - 1, r - 1) + C(n - 1, r)
             row[j] += row[j - 1];
        }
    }

    return row[r];
}

内循环从末尾开始以简化计算。如果从索引0开始，则需要另一个变量来存储被覆盖的值。

Answer 2

我认为您的递归方法应该与DP一起高效工作。但是一旦限制增加，它就会开始出现问题。见http://www.spoj.pl/problems/MARBLES/

这是我在网上评委和编码比赛中使用的功能。所以它的工作速度非常快。

long combi(int n,int k)
{
    long ans=1;
    k=k>n-k?n-k:k;
    int j=1;
    for(;j<=k;j++,n--)
    {
        if(n%j==0)
        {
            ans*=n/j;
        }else
        if(ans%j==0)
        {
            ans=ans/j*n;
        }else
        {
            ans=(ans*n)/j;
        }
    }
    return ans;
}

这是您的方法＃1的有效实施

Answer 3

你的递归方法很好但是用你的方法使用DP将减少再次解决子问题的开销。现在我们已经有了两个条件 -

nCr(n,r) = nCr(n-1,r-1) + nCr(n-1,r);

nCr(n,0)=nCr(n,n)=1;

现在我们可以通过将子结果存储在二维数组中来轻松构建DP解决方案 -

int dp[max][max];
//Initialise array elements with zero
int nCr(int n, int r)
{
       if(n==r) return dp[n][r] = 1; //Base Case
       if(r==0) return dp[n][r] = 1; //Base Case
       if(r==1) return dp[n][r] = n;
       if(dp[n][r]) return dp[n][r]; // Using Subproblem Result
       return dp[n][r] = nCr(n-1,r) + nCr(n-1,r-1);
}

现在，如果你想进一步加强，那么得到二项式系数的素数因子化可能是计算它的最有效方法，特别是如果乘法是昂贵的。

我所知道的最快的方法是弗拉基米尔的方法。通过将nCr分解为素因子，可以避免一起划分。正如Vladimir所说，使用Eratosthenes筛可以非常有效地完成这项工作。另外，使用 Fermat的小定理来计算nCr mod MOD（其中MOD是素数）。

Answer 4

使用动态编程，您可以轻松找到nCr，这是解决方案

package com.practice.competitive.maths;

import java.util.Scanner;

public class NCR1 {

    public static void main(String[] args) {
        try (Scanner scanner = new Scanner(System.in)) {
            int testCase = scanner.nextInt();
            while (testCase-- > 0) {
                int n = scanner.nextInt();
                int r = scanner.nextInt();
                int[][] combination = combination();
                System.out.println(combination[n][r]%1000000007);
            }
        } catch (Exception e) {
            e.printStackTrace();
        }
    }

    public static int[][] combination() {
        int combination[][] = new int[1001][1001];
        for (int i = 0; i < 1001; i++)
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                if (j == 0 || j == i)
                    combination[i][j] = 1;
                else
                    combination[i][j] = combination[i - 1][j - 1] % 1000000007 + combination[i - 1][j] % 1000000007;
            }
        return combination;
    }
}

Answer 5

unsigned long long ans = 1,a=1,b=1;
        int k = r,i=0;
        if (r > (n-r))
            k = n-r;
        for (i = n ; k >=1 ; k--,i--)
        {
            a *= i;
            b *= k;
            if (a%b == 0)
            {
                a = (a/b);
                b=1;
            }
        }
        ans = a/b;

这是计算nCr的更好方法

5 个答案: