通过在N个顺时针点形成三角形来查找配置总数

Question

在顺时针方向的圆圈中有固定的N点，编号为1到N. 我们想通过选择任意三个点来创建三角形。

我们可以创建尽可能多的三角形，但没有两个三角形应该相互交叉，一个点只能共享一个三角形。那么有多少这样的配置可能？

例如，让我们有10点：

• 点1,2,3可以创建一个三角形，如果只有这个三角形，它将是一个配置。
• 只有三角形（2,3,4）才是其他配置。
• 三角形（1,2,3）和（4,5,6）将形成其他配置。
• （2,4,5）也可以是三角形
• （2,4,5）和（1,3,6）不能是一个配置，因为两个圆圈会相互交叉。

我可以部分解决：

• 对于一个三角形，我们可以用nC3方式选择任意三个点并创建一个三角形。
• 对于两个三角形，我们可以用nC6方式选择任意六个点，并且可以用3种方式形成两个三角形

我无法解决更多的三角形。

Answer 1

出于以下考虑，我想将“完全没有三角形”视为有效配置。你可以在最后减去一个来摆脱它。

所以递归地想一想。给定 n 点，你有两个选择：你选择“完全没有三角形”并返回，或者你选择三个点来形成一个三角形，然后递归。如果您有三个角，他们会将您的圆圈分成三个范围。所有后续三角形必须具有来自单个范围的角，否则它们将重叠。如果将它们限制为其中一个范围，它们将不会与您的第一个三角形相交。对于递归，您可以将这些范围中的每一个视为一个小圆圈（检查有关交叉点的语句在那里是否仍然有效）。

好的，上面将生成所有可能的有序三角形序列。如果你不关心订单，你必须以某种方式消除它。一种可能性是将每个计数除以 n！，其中 n 是最终生成的三角形数。另一种方法是修复三角形的完整顺序（即按最小角点索引排序），并确保递归永远不会生成比之前选择的三角形更小的三角形。

通过这些想法，您应该能够编写一个小脚本来枚举几个点的三角形配置。您甚至可以手动检查几个案例。也许有这个脚本就足够了。如果没有，您可以将该序列（有或没有由于“完全没有三角形”的偏移量）提供给the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences™并查看它们是否有适合您的公式。或者自己找一个，可能是generating function的帮助。如果其他一切都失败了，您可能希望将其带到Math SE。

修改
除非我在实现自己的小脚本时犯了错误，否则你要求的序列，包括“完全没有三角形”的实例，是OEIS A071879。还有一个公式。我使用以下python代码生成了该序列：

c = [1, 1, 1]
for n in range(3, 30):
    s = 1
    for i1 in range(0, n - 2):
        for i2 in range(i1 + 1, n - 1):
            for i3 in range(i2 + 1, n):
                s += c[i2 - i1 - 1]*c[i3 - i2 - 1]*c[n - i3 - 1]
    assert len(c) == n
    c.append(s)
    print(s)