位图或二进制搜索树

Question

以下哪种数据结构最适合插入，删除，查找，设置交集，联合？优化时间复杂度。

1. 位图
2. 二进制搜索树

Answer 1

Foreward

这个问题含糊不清，所以我会做一些假设。

首先，我们尝试在[0到M]范围内表示设置数字，其中M是一个相当小的数字，如100,000。

BST可以简单地包含集合中的元素。

位图只能是M位长，如果该位置的数字在集合中，则设置一个位，否则，该位数不在该集合中。我将假设已经创建了一个大小为M的位图。

在这个答案中，我考虑Self-Balancing Binary Search Trees和Bitmaps - 对于非平衡BST，您必须处理每个操作的最佳情况，平均情况和最坏情况。

运营和复杂性

插入：将n添加到集合中。

• BSTs 需要O（log（n））时间才能插入。
• 位图需要对目标位执行简单的（OR 1）操作，并进行快速分割并进行一些移位以将1放在正确的位置，但仍然保持为O（1）。

删除：从集合中删除n。

• BSTs 找到该元素，然后删除它，然后旋转树，这样整体为O（log（n））。
• 位图需要对目标位执行简单的（AND 0）操作，并进行快速分割并进行一些移位以将1放在正确的位置，但仍然保持为O（1）。

查找：集合中是否为n？

• BSTs 以O（log（n））查找n。
• 位图返回特定目标位上的（AND 1）值，进行除法并移位以将1放在正确的位置，整体为O（1）。

设置交集：这里有两组，哪些是相同的。

• BST ：以MergeSort类型的方式对两个BST进行按顺序遍历，如果两个元素相同，则将其添加到返回BST中。

  • 以排序顺序向返回BST添加元素对于平衡是不利的，因此您可以通过对超过一半的BST执行有序遍历以及在bST的后半部分进行反向遍历来修改此值，然后以交替顺序添加前向列表和反向列表中的交叉元素。
  • 总的来说，这就像O（n * log（n）），因为将所有元素添加到返回BST所需的时间比遍历要长。

• 位图：遍历两个位图，存储（AND）字节（或一次说32位）并将其作为位图存储在结果位置。 O（M）其中M是位图初始化范围的大小。

设置联盟：这是2套，合并它们。

• BSTs ：通过在BST1和BST2之间交替进行BST1和BST2的广度优先遍历，将BST1和BST2中的所有元素添加到其中来创建新的BST。如果元素已经存在，则不要再添加它。总的来说，这就像O（n * log（n））。
• 位图：与设置交集相同，但使用（OR）操作。 O（M）其中M是位图范围的大小。

问题中的歧义

• 这些集（数字，对象）中存储的项目是什么
• 是否要对二进制搜索树进行自我平衡分析？
• 这是从一个相当小的有限范围中选择的一组吗？ （即可以用Bitmap完成吗？）
• 目前还不清楚优化时间复杂度的含义，虽然它似乎意味着“此数据结构上此操作的平均情况下，已知最低的Big-O（上限）是多少？”

结论

对于所有这些操作，位图优于自平衡BST。

包含/排除位图的缺点：

• 您只存储包含/排除，并且不存储有关该元素的任何数据。
• 仅适用于整数，或者以1对1方式散列为整数的对象（如果散列函数是可逆的，则可以将对象取回。）
• 您必须拥有固定范围的元素，例如0到100,000的整数。
• 固定范围必须相当小，例如小于1亿。
• Union和Intersection取决于Range Size，而不取决于所代表元素的数量。