Question

我正在尝试编写一些推理规则，但我无法理解通常用于编写它们的符号的含义。

例如：我为一些类型表达式编写了以下规则：

 class(r) ∈ t,  \there_exists v ⊢ r ∈ type(v)
-------------------------------------------------------------
 Γ, m:n -> r ⊢ n:(Γ, r, {}) <-  r

m是n替换为r的声明。

（如果表达式中的r属于t（type-expression），并且存在v，r属于v类型}）。

可能是我的等式是完全错误的。至少有人请解释⊢和:运算符的含义。同样在Benjamin Pierce的书中，他将Γ称为打字上下文。有人可以用一个例子解释它的含义（如果例子是在Haskell或Lisp或C ++中，我会很感激）

由于

PS：这不是作业。

Answer 1

在较高的层次上，符号很简单：假设线条上方的条件成立，则线条下方的表达式为真。

Γ是一个打字上下文 - 也就是说，它是一组变量和类型。这些对将变量映射到类型。 ⊢仅仅意味着“在上下文中”。冒号只是将变量与类型组合在一起 - 就像Haskell中的::或Scala或Ocaml中的:一样。所以类似Γ ⊢ x:σ的意思是“在上下文中，Γ，x具有类型σ”。 Γ,x:σ之类的内容表示由Γ和x:σ组成的上下文。

本质上，上下文表示其他变量具有的所有类型。因此，x:σ ∈ Γ表示x σ中的Γ类型Γ ⊢ x:σ，可让您轻松解析x。所有这一切都说明如果x绑定到上下文中的某种类型，它在该上下文中具有该类型。

您可以将输入上下文视为“外部”的所有类型信息。因此，上段中的简单陈述基本上告诉您，如果您看到x且σ已有类型x，则可以推断出σ的类型为{{1} }}。不是很有趣，但非常重要！

您可以将此规则写为：

x:σ ∈ Γ
-------
Γ ⊢ x:σ

如果我们只有LaTeX：P。我想我们不像math.se或cstheory.se那样酷。

这是一个稍微复杂的例子。本质上，我们想要编码应用程序在简单类型的lambda演算中的工作方式。实际上非常简单：给定f类型的函数τ → τ'和类型为x的值τ，f x类型为τ'。在Haskell中，这看起来就像在f :: Int -> Bool上应用x :: Int一样。很明显f x :: Bool。所以让我们写出来。

条件（最高位）是，在某些情况下，f的类型为τ → τ'：Γ ⊢ f:τ → τ'。此外，在同一上下文中，x的类型为τ：Γ ⊢ x:τ。放在一起，我们得到：Γ ⊢ f:τ → τ' Γ ⊢ x:τ。

现在到了最后一点。鉴于这两种类型，我们知道什么？我们知道应用程序f x 的类型，但仅在相同的上下文中。（这就是Γ重要的原因。）所以我们得到：Γ ⊢ f x:τ'。

现在，把它们放在一起，我们有：

Γ ⊢ f:τ → τ' Γ ⊢ x:τ 
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     Γ ⊢ f x:τ'

看到StackOverflow语法高亮显示器与最后一个例子斗争是有趣的。我想知道它认为的是哪种语言。

Answer 2

Γ（如果有人知道如何嵌入LaTeX，请发表评论或编辑评论）是输入上下文的符号：您可以将其视为表达式与其类型之间的映射。

例如，让我们采取两种情况：

Γ0空地图和
Γ1 = Γ0, x:Int上一篇文章内容丰富，其中包含x类型为Int的类型信息。因此，此处:代表类型分配。

现在，在空上下文（Γ0）中，无法键入表达式x + x，因为您不知道x的类型（它不存储在地图）。但是，在其他情况下，我们有x的类型（即Int），因此我们可以说x + x的类型为Int。

正式地，我们使用了像这样的规则：

  x : σ ∈ Γ
______________
 Γ ⊢ x + x: σ

观察Haskell中:代表::。并且A ⊢ B应被视为“在A B持有的情况下。

PS：我有一个关于Type Systems的课程，你可以找到一些材料here（你可以看看Typed_Lambda_Calculus.pdf）。

表达操作语义时出现符号问题

2 个答案: