瑞士奶酪的防水性如何？

Question

想象一块立方形的瑞士奶酪。我们通过20x20x20网格对奶酪进行建模。为简单起见，我们假设每个网格立方体完全由奶酪或完全由空气组成。在我们的瑞士奶酪立方体的上方，我们然后倒入水，只穿过立方体中的气孔穿透奶酪。水可以从顶部流到底部通过连续通道，但是如果两个立方体通过面（不仅仅是边缘或角落）连接，它可以仅从一个空气立方体流到下一个空气立方体。水也可以在弯路中流动，例如在水槽排水管中，但它可能不会流出奶酪立方体的侧壁。

现在让我们以编程方式实施瑞士奶酪的模型，如上所述随机分配空气和奶酪块，奶酪 p 的概率和空气的概率 1 - p 并模拟流经奶酪的水，以便了解水是否流经瑞士奶酪块的底部。

通过反复模拟流经瑞士奶酪块的水，奶酪和空气的概率不同，我们可以确定p与水流入瑞士奶酪块底部的可能性之间的关系，我们可以将其命名为 q 。结果如下：

q
1   ************************
0.8                          *
0.6                           *
0.4                            *
0.2                             *
0                                 ***********
    0       0.2     0.4     0.6     0.8     1   p

我的气质：为什么这么奇怪的曲线？

此问题来自23rd federal competition of informatics in Germany (2004/2005)。网上没有提供“为什么这么奇怪的曲线”的回答（solutions provided）。

我希望我能在这个问题上找到合适的位置。

Answer 1

也许您会直观地找到以下解释：

在您的情况下，20 * 20 * 20个单元，除非您有至少20个孔，否则水流的概率恰好为0.如果您有20个孔，如果您在一个柱中订购它们，水会流动，但是这种顺序随机出现的概率非常低，20 * 20 / Comb（20 ^ 3,20）〜= 1e-57。当你增加洞的数量时，连续路径的出现变得越来越可能。

当除了20 * 20之外的所有细胞都是洞时，阻断流动的唯一方法是将所有干酪细胞分成单个“阻塞”层，例如，一个水平的20 * 20层。 （还有其他可能的配置，但也不太可能。每个（x，y）坐标只需要一个奶酪块，每个奶酪块必须与其所有（x，y）邻居联系。但它们可能是沿z轴传播。）

一旦你的奶酪块少于20 * 20，就不能形成一个完整的层，流量概率恰好为1。

Answer 2

这是振亚评论的延伸。

如上所述，您的瑞士奶酪就是percolation theory的一个例子。当我们考虑Statistical Mechanics的主题时，这是phase transitions的基本概念。渗透理论的一个典型例子与你发布的问题非常相似。

Erdős-Rényi模特

在Erdős–Rényi model中，您以空graph开头，并使用概率为p的边连接节点。在一些严重的p值处，图的结构从一堆断开的簇变为一个包含大部分节点的大型生成结构。事实上，如果您要绘制最大群集的平均大小，您将获得与瑞士奶酪模型非常相似的图片！示意性地看起来像这样：

你会在应用数学和物理学的许多例子中找到它。图片来自Frontiers中的这篇文章，它更详细地讨论了这一现象。