Python特征向量：numpy.linalg，scipy.linalg和scipy.sparse.linalg之间的差异

Question

Scipy和Numpy在它们之间有三个不同的函数来寻找给定方阵的特征向量，它们是：

1. numpy.linalg.eig(a)
2. scipy.linalg.eig(a)和
3. scipy.sparse.linalg.eig(A, k)

特别关注我最后两个留下的所有可选参数都保留默认值且a / A是实值的情况，我很好奇这些差异这三个文档中含糊不清 - 特别是：

• 为什么（3）有一个注释，它找不到所有特征向量？
• 为什么必须其他两个计算所有解决方案 - 为什么他们不采用k参数？
• （1）有一个说明，即特征值没有特定的顺序返回; （3）有一个可选参数来控制订单。 （2）是否对此提出任何保证？
• （3）是否假设A稀疏？ （从数学上讲，不是被表示为scipy稀疏矩阵）如果这个假设不成立，它可能效率低下，甚至给出错误的结果吗？
• 在选择这些因素时，我还应考虑其他因素吗？

Answer 1

第三个特殊行为与Lanczos algorithm有关，它与稀疏矩阵一起使用效果很好。 scipy.sparse.linalg.eig的文档说它使用ARPACK的包装器，后者又使用“隐式重启的Arnoldi方法（IRAM），或者在对称矩阵的情况下，使用Lanczos算法的相应变体。” (1)

现在，Lanczos算法具有对大特征值更有效的特性（事实上，它使用最大特征值）：

  

在实践中，这种简单的算法效果不佳   计算很多特征向量，因为任何舍入误差   将倾向于引入更重要的轻微组件   特征向量回到计算中，降低了精度   计算。 (2)

所以，虽然Lanczos算法只是一个近似值，但我猜其他两种方法使用algos来找到精确特征值 - 看起来所有这些都可能取决于所使用的算法，太

Answer 2

以下是您问题的非常规特定部分的答案：

原则上，NumPy和SciPy linalg()例程应该相同。两者都在内部使用LAPACK和BLAS例程。 `'scipy.sparse``中的实现使用了一种适用于稀疏矩阵的特定算法（即，大多数为零条目的矩阵）。如果矩阵密集，请不要使用它。

请注意，从技术上讲，SciPy / NumPy中的eig()是不同的实现，因为两个包都可以使用不同的Lapack / BLAS实现构建。这里的常见选择是标准的Lapack / BLAS，可从netlib，ATLAS，英特尔MKL或OpenBLAS获得。