拉格朗日插值方法

Question

我使用卷积和for循环（太多用于循环）来计算插值 Lagrange's method，这是主要代码：

function[p] = lagrange_interpolation(X,Y)
L = zeros(n);
p = zeros(1,n);


% computing L matrice, so that each row i holds the polynom L_i
% Now we compute li(x) for i=0....n  ,and we build the polynomial 

for k=1:n
    multiplier = 1;
    outputConv = ones(1,1);
    for index = 1:n
        if(index ~= k && X(index) ~= X(k))
            outputConv = conv(outputConv,[1,-X(index)]);
            multiplier = multiplier * ((X(k) - X(index))^-1);
        end
    end
    polynimialSize = length(outputConv);
    for index = 1:polynimialSize
        L(k,n - index + 1) = outputConv(polynimialSize - index + 1);
    end
    L(k,:) = multiplier .* L(k,:);
end

% continues 


end

那些用于计算l_i(x)的循环太多了（这是在P_n(x) = Sigma of y_i * l_i(x)的最后一次计算之前完成的）。

有什么建议让它更正式matlab吗？

谢谢

Answer 1

是的，有几条建议（在下面的版本1中实现）：if循环可以与for上面的index结合使用（只需通过类似k跳过jr(jr~=j) {1}}以下）; polynomialSize总是等于length(outputConv)，它始终等于n（因为您有n个数据点，(n-1)th多项式带有n个系数），所以最后for循环和下一行也可以替换为简单L(k,:) = multiplier * outputConv;

所以我复制了http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_polynomial上的示例（并采用了他们的j-m符号，但对我而言j转为1:n而m为1:n和m~=j），因此我的初始化看起来像

clear; clc;
X=[-9 -4 -1 7]; %example taken from http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_polynomial
Y=[ 5  2 -2 9];
n=length(X); %Lagrange basis polinomials are (n-1)th order, have n coefficients
lj = zeros(1,n); %storage for numerator of Lagrange basis polyns - each w/ n coeff
Lj = zeros(n); %matrix of Lagrange basis polyns coeffs (lj(x))
L  = zeros(1,n); %the Lagrange polynomial coefficients (L(x))

然后v 1.0看起来像

jr=1:n; %j-range: 1<=j<=n
for j=jr %my j is your k
    multiplier = 1;
    outputConv = 1; %numerator of lj(x)
    mr=jr(jr~=j); %m-range: 1<=m<=n, m~=j
    for m = mr %my m is your index
        outputConv = conv(outputConv,[1 -X(m)]);
        multiplier = multiplier * ((X(j) - X(m))^-1);
    end
    Lj(j,:) = multiplier * outputConv; %jth Lagrange basis polinomial lj(x)
end
L = Y*Lj; %coefficients of Lagrange polinomial L(x)

如果你意识到l_j（x）的分子只是一个具有特定根的多项式，那么可以进一步简化 - 因为在matlab中有一个很好的命令 - poly。类似地，分母只是在X（j）处评估的多数 - 因为有polyval。因此，v 1.9：

jr=1:n; %j-range: 1<=j<=n
for j=jr
    mr=jr(jr~=j); %m-range: 1<=m<=n, m~=j
    lj=poly(X(mr)); %numerator of lj(x)
    mult=1/polyval(lj,X(j)); %denominator of lj(x)
    Lj(j,:) = mult * lj; %jth Lagrange basis polinomial lj(x)
end
L = Y*Lj; %coefficients of Lagrange polinomial L(x)

为什么版本1.9而不是2.0？好吧，有可能有办法摆脱这最后的循环，并将其全部写入1行，但我现在想不到它 - 它是v 2.0的待办事项：）

而且，对于甜点，如果你想获得与维基百科相同的图片：

figure(1);clf
x=-10:.1:10;
hold on
plot(x,polyval(Y(1)*Lj(1,:),x),'r','linewidth',2)
plot(x,polyval(Y(2)*Lj(2,:),x),'b','linewidth',2)
plot(x,polyval(Y(3)*Lj(3,:),x),'g','linewidth',2)
plot(x,polyval(Y(4)*Lj(4,:),x),'y','linewidth',2)
plot(x,polyval(L,x),'k','linewidth',2)
plot(X,Y,'ro','linewidth',2,'markersize',10)
hold off
xlim([-10 10])
ylim([-10 10])
set(gca,'XTick',-10:10)
set(gca,'YTick',-10:10)
grid on

产生

享受并随意重复使用/改进

Answer 2

尝试：

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为什么会有巨大的差异？