Question

int gcd(n,m)
{
  if (n%m ==0) return m;
  n = n%m;
  return gcd(m,n);
}

我解决了这个问题，我得到了

T(n, m) = 1 + T(m, n%m)  if n > m
        = 1 + T(m, n)    if n < m
        = m              if n%m == 0

我很困惑如何进一步获得最终结果。请帮我解决这个问题。

Answer 1

这里的问题是m和n的下一个值的大小完全取决于先前的值，而不仅仅是它们的大小。 Knuth详细介绍了“计算机程序设计的艺术”第2卷：研究数学算法，第4.5.3节。大约五页之后，他证明了你可能已经猜到了，最糟糕的情况是m和n是连续的斐波纳契数。从这个（或其他方面！）可以看出，在最坏的情况下，所需的分割数量是两个参数中较大者的对数线性。

经过大量繁重的数学运算后，Knuth证明了平均情况在论证的对数中也是线性的。

Answer 2

mcdowella给出了一个完美的答案。

对于直观的解释，你可以这样想，

如果n> = m，则n mod m < N / 2;

这可以显示为，

如果m＆lt; n / 2，然后： n mod m＆lt; m＆lt; N / 2

如果m> n / 2，则：n mod m = n-m＆lt; N / 2

如此有效地将较大的输入减半，并且在两次调用中，两个参数都将减半。

如何解决给定算法的递归？

2 个答案: