包含所有直线交叉点的最小矩形

Question

我正在尝试找到一种算法，该算法将找到一组线的所有交点，并计算包含O（n log n）时间内所有交点的最小矩形。到目前为止，我猜它与二元和凸壳有关，但我有点坚持它实际上如何帮助我解决这个问题。

如果有人对此有所了解，请告诉我。谢谢:)）

Answer 1

让我们从一个B [0]开始，它最小化三角形中的三个交叉点。

如果找不到三角形，那么我们有以下特殊情况之一可以单独处理：

1. 所有行都是平行的。
2. 所有十字路口都在一条线上。如果除了一条线之外的所有线都是平行的，就会发生这种情况。
3. 所有线条在一个点相交。

因此，让我们忽略这些情况作为细节，并假设可以找到一个三角形，找到它不会给算法增加太多时间。

阶段1 - 增加框以包含每行的一个交叉点：

1. 标记形成初始三角形的三条线。
2. 选择一条未标记的线条，找到带有标记线条的交点P.这总是可行的，因为至少有三条不相互平行的标记线。
3. 将该框展开以包含P.
4. 从2开始重复，直到标记了所有行，即它们在框中至少有一个交叉点。

调出结果框B [0]。

阶段2 - 检测线条之外是否有交叉点：

这是关键的观察结果：对于在框内相交的两条线A和B，顺时针绕着框走，我们遇到交替的线：例如A B A B.对于与盒子外侧相交的两条线，顺时针行走不会交替：例如A B B A.当然，线条可能在框边界上相交，或者是并发的，但在描述主算法后，这将被视为细节。

1. 选择线条的方向：如果线条不是水平线，则将线条指向+ y方向，让水平线条朝向+ x直线。线条的一个东西是箭头，然后箭头全部被选择为尽可能多地指向，或者如果它们是水平的则向右指向。使用此方向时，每条线都有一个进入框的点（定向线指向框中，以及一个退出点。这些可能是相同的点。
2. 通过沿着边界顺时针方向行走EXITING交叉点，从右上角开始，创建线条的“退出序列”。
3. 通过从框的右上角开始顺时针方向行走输入交叉点，创建线条的“输入序列”。
4. 如果所有交叉点都在框内，则进入和退出序列将相互循环，B [i]是交叉点的最小边界框。
5. 否则，将两个序列对齐到任意元素（通过循环旋转）。
6. 查找序列中首先不同的元素。这两行必须在盒子外面有一个交叉点P，所以通过将B [i]增长到包括P来形成B [i + 1]。
7. 从2开始重复。

这是不完整的，因为如果组线在边界上具有共同的进入或退出点，则进入和退出序列没有很好地定义。对于具有共同进入或退出点的每组线L，使用稍大的框来订购L.

请注意，此算法不会发出所有交叉点，但它确实（我希望）该框包含所有交叉点。

Answer 2

在O（n log n）时间？哇。我没想到这是可能的。

我在这里没有看到任何其他答案，所以这里有一个想法 - 无可否认地在黑暗中拍摄。你可以按照自己的意愿去做。

想法：首先按轴承或斜率对线进行排序。在其他条件相同的情况下，几乎平行的线似乎可能在外围点相交;当然，这是你感兴趣的外围点。

你的凸壳概念听起来应该是正确的，但考虑到船体可能有几乎平行的边，其切线或延伸部分远离感兴趣的区域。总而言之，这听起来像是一项重要的编程工作。祝你好运。