Question

我希望有人能帮助我回答以下问题。谢谢！

以下是Permute-By-Sorting算法的伪代码：

Permute-By-Sorting (A)

    n = A.length

    let P[1..n] be a new array

    for i = 1 to n

        P[i] = Random (1,n^3)

    sort A, using P as sort keys

在上述算法中，数组P表示数组A中元素的优先级。第4行选择1到n ^ 3之间的随机数。

问题是P中所有优先级的唯一概率是多少？以及如何获得概率？

Answer 1

您正在从n中选择1...n^3个数字，并询问它们都是唯一的概率。

有(n^3) P n = (n^3)!/(n^3-n)!种方式可以唯一地选择n个数字，(n^3)^n种方式可以选择n个数字。

因此，数字唯一的概率只是第一个等式除以第二个等式，得出

     n³!
--------------
 (n³-n)!  n³ⁿ

Answer 2

调和已经给出的答案：对于选择i = 0，...，n - 1，假设尚未选择重复项，则有n ^ 3 - i非重复选择n ^ 3总计为第i个值。因此，概率是i = 0，...，n - 1（1-i / n ^ 3）的乘积。

sdcwc正在使用一个绑定来降低此概率的联合1 - O（1 / n）。这个估计基本上是正确的。证明草图是（1-i / n ^ 3）是exp（-i / n ^ 3 + O（i ^ 2 / n ^ 6）），因此乘积是exp（-O（n ^ 2）/ n ^ 3 + O（n ^ -3）），其大于或等于1-O（n ^ 2）/ n ^ 3 + O（n ^ -3）= 1-O（1 / n）。我确信数学上的优秀人员会很乐意做出这样的推导和＃34;正确的＃34;对你而言。

Answer 3

其他人已经给你概率计算，但我想你可能会问错误的问题。

我假设您询问优先级唯一的可能性的原因，以及首先选择n ^ 3的原因，是因为您希望它们是唯一的，并选择大范围相对似乎是实现独特性的合理方式。

确保值是唯一的更容易。只需使用数字1 .. n填充优先级数组，然后使用the Fisher-Yates algorithm（也就是计算机编程艺术中的算法P，第2卷，数值算法，Donald Knuth）将它们随机填充。

然后使用已知的唯一优先级值执行排序。

（还有其他方法可以获得随机排列。有可能使用因子数（或因子数系统）生成序列的第n个词典排列，因此生成随机选择的排列值[1 .. n！]。）

Answer 4

所以排序部分无关紧要

假设“随机”是真实随机的，概率只是

      n^3!
----------------
 (n^3-n)!n^(3n)

Answer 5

设A _ij为事件：第i和第j个元素发生碰撞。显然P（A _ij）= 1 / n ³。

最多有n ²对，因此至少有一次碰撞的概率最多为1 / n。

如果您对确切的事情感兴趣，请参阅BlueRaja的答案，但在随机算法中，通常足以给出这种类型的约束。

对于Permute-By-Sorting算法，所有优先级都是唯一的概率是多少？

5 个答案: