如何使用微分方程求解脉冲响应？

Question

给出微分方程： y[n] - 0.9y[n-1] + 0.81y[n-2] = x[n] - x[n-2]

一个。使用递归查找h[n], n=0,1,2的脉冲响应。

湾使用MATLAB命令过滤器找到脉冲响应。

Answer 1

我知道这是家庭作业，所以我会尝试给你指导，而不是完全放弃答案：

使用递归

这实际上非常简单，因为微分方程几乎完全包含递归函数体：y [n] = 0.9y [n-1] - 0.81y [n -2] + x [n] - x [n-2]

粗体部分实际上是递归调用！你需要做的是建立一个接收func和x的函数（我们称之为n），并计算y[n]：

function y = func(x, n)
   if (n < 0)
      %# Handling for edge case n<0
      return 0
   else if (n == 0)
      %# Handling for edge case n=0
      return x(0)
   else
      %# The recursive loop
      return 0.9 * func(x, n-1) - 0.81 * func(x, n-2) + x(n) - x(n-2)
   end

请注意，它是伪代码，所以你仍然需要检查边缘情况并处理索引（MATLAB中的索引从1开始而不是0！）。

使用过滤器

数字滤波器的响应实际上是您正在寻找的y [n]。正如您可能从中得知的那样，该滤波器的系数将是微分方程中指定的系数。 MATLAB有一个内置函数filter，可以模拟它，所以如果你写：

B = [1, 0, 1];        %# Coefficients for x
A = [1, 0.9, -0.81];  %# Coefficients for y
y = filter(B, A, x);

你会得到一个输出向量，它包含y [n]的所有值。

Answer 2

a=[1 -0.9 0.81]
b=[1 -1]
impz(b,a,50)