给定随机变量和n的样本，如何找到n个X之和的ecdf？

Question

我无法使X适合常见发布，所以目前我只有X ~ ecdf(sample_data)。

如何计算sum(X1 + ... + Xn)给定n的经验分布？ X1到Xn是iid。

Answer 1

要估算该总和的分布，您可以重复采样（然后取n个变量来自sample_data。 （sample()在sample_data的每个元素上放置相等的概率质量，就像ecdf一样，因此您不需要将ecdf(sample_data)计算为中间步骤。）

# Create some example data
sample_data <- runif(100)

n <- 10
X <- replicate(1000, sum(sample(sample_data, size=n, replace=TRUE)))

# Plot the estimated distribution of the sum of n variates.
hist(X, breaks=40, col="grey", main=expression(sum(x[i], i==1, n)))
box(bty="l")

# Plot the ecdf of the sum
plot(ecdf(X))

Answer 2

首先，概括和简化：求解步骤函数CDF X和Y，独立但不同分布。对于每一步跳跃x _i 并且每一步跳跃y _i ，将在x _i + y _{i处进行相应的步骤跳转}在X + Y的CDF中，所以X + Y的CDF将以列表为特征：

sorted(x + y for x in X for y in Y)

这意味着如果X的CDF中有k个点，则（X ₁ + ... + X _{n n >）。我们可以通过丢弃除k之外的所有数据将其减少到可管理的数量，但显然中间计算在时间和空间上都是昂贵的。}

另外，请注意，即使原始CDF是X的ECDF，结果不也不是ECDF（X ₁ + ... + X < sub> n ），即使你保留所有k ⁿ 点。

总之，使用Josh的解决方案。