随机邻接矩阵，每个节点的边数变化

Question

以下函数返回一个随机生成的大小为nxn的邻接矩阵，表示图形。

import random

def random_adjacency_matrix(n):   
    matrix = [[random.randint(0, 1) for i in range(n)] for j in range(n)]

    # No vertex connects to itself
    for i in range(n):
        matrix[i][i] = 0

    # If i is connected to j, j is connected to i
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            matrix[j][i] = matrix[i][j]

    return matrix

这是一个非常天真的解决方案，我希望它满足另外两个要求。

1. 矩阵表示的图形必须完全连接，换句话说，不能有任何节点在某些步骤中无法从任何其他节点到达。

2. 每个节点都有许多边。现在它是完全随机的，因此节点具有多少边缘相当均匀，并且当n很大时，对于所有图形，平均边缘数也趋于变大。我希望每个节点的平均边数变化更多，与图形的大小无关，因此一些图形的连接很少，而其他图形很多。

编辑： 使用networkx包，这似乎是我想要的，只有上面的第1点也满足：

import networkx, random
G = networkx.binomial_graph(50, random.random()) # 50 nodes, random probability of an edge

Answer 1

首先，让我们推荐networkx graph library。它非常易于使用，并且已经包含了一个很好的算法工具箱。例如，您可以轻松地测试图表的连通性，或者在图表中询问一组连接的组件。

其次，有各种命名的历史分布是佳能。如果你能找到你正在考虑的那个，这对你和任何提供帮助的人都有帮助。从你给出的粗略描述中，听起来你可能正在寻找幂律分布（又名“长尾”分布，另见“scale free network”）。您在（例如）社交网络中看到了很多类型的分布，在这种情况下，相对较少的非常高度连接的节点（即流行的节点），然后是许多很多具有非常低连接性的节点。在少数高度连接和许多稀疏连接之间，中间存在一种指数衰减。这似乎是描述随机生成的社交网络的论文：Random Graph Models of Social Networks。

鉴于networkx和适当的统计分布，您应该能够构建您梦想的图表。祝你的项目好运，编码愉快。

Answer 2

没有足够的信息来完全指定您想要的图表类型。然而，由于图形通常是某些物理结构的抽象，因此对随机图形的常见请求是无标度。这些图具有渐近地遵循幂律的度分布的性质。人口动态，Facebook朋友，引文网络和互联网流量都对某些领域具有幂律依赖性。生成无标度网络的通用方法是Barabási–Albert method。下面（来自维基百科）转载的是创建这样一个网络的动画。保证连接任何N，并且通用允许您设置连接。

networkx可以轻松生成这些随机图：

import networkx

node_number = 20
initial_nodes = 2
G = networkx.barabasi_albert_graph(node_number, initial_nodes)

Answer 3

问题1：

首先创建一个随机的spaning树，将所有节点连接在一起，然后添加其他边。

问题2：

为(i,j)创建所有1 ≤ i < j ≤ n的列表，随机播放列表并获取前k个边缘。然后，您的图表会有n个顶点和k±n个边。

Answer 4

（1）这个很简单 - 只需首先创建一个树，并且只有在确保连接后才开始添加更多边缘。 通过迭代地增加一组连接的顶点，可以很容易地完成。
伪码：

source <- select random vertex
set <- {source}
while set != V:
   chose a random vertex v from set, and u from V\set
   add (v,u),(u,v) as an edge
   add u to set

（2）
我使用normal distribution选择每个节点的边数。每个节点将获得一个不同的随机变量 - 因此将具有不同数量的节点。

• 我认为这是一个很好的方法，因为事情往往是正常的 在现实生活中分发（由于central limit theorem）。
• 您可以通过修改均值和方差来控制连接 用于确定数量的随机变量 每个顶点的边缘。
• 您还可以使用任何其他分配来选择数量 每个节点的边缘，但我认为正态分布最合适。