用FFT实现振动函数的傅里叶积分/傅立叶变换

Question

f(x) = cos(x^2)和g(k) = pi^0.5 cos((pi*k)^2 - pi/4)是傅里叶对。

我想通过傅里叶积分g(k)使用FFT重现f(x)，即

近似Integrate[ f(x) * exp(2 pi * ikx), {x, -inf, inf} ]

Sum[ fn * exp(2 pi * ik x_n), {n, 0, N-1} ] * Delta_x

然而，如果它完全一致，则结果仅在非常小的g(k)范围内与k一致（相同的代码适用于平滑傅里叶对，例如高斯函数）。我想问题是为N和Delta_x选择合适的值。是否有任何既定的规则来选择它们？我在哪里可以找到文献中的相关主题（我已经阅读了数字食谱第13.9节，但它似乎没有解决我的问题）？

Answer 1

FFT本身具有长度为N的矩形窗口的窗口f（x）。对于在该窗口内不完全周期性的任何k，这将产生不同的g（k）结果。您可以尝试选择Delta_X和N，以便它们的结果是您想要的k的精确整数倍。