Question

在我开始问题之前，我使用P0，P1，P2和P3作为四个立方贝塞尔点，并使用't'，因为它是参数化的。此外，我在这个网站以及谷歌搜索过类似的问题，但找不到。如果这是一个常见问题，我道歉。

问题：在这两种情况下，对于立方贝塞尔曲线，dx / dt和dy / dt的斜率均为0

1: t = 0 and P0 == P1
2: t = 1 and P2 == P3

这是一个例子来说明（1），其中t = 0且P0 == P1。

在t = 0处找到以下三次Bezier的正切（即dx / dt和dy / dt）：

(100, 100) (100, 100) (150, 150) (200, 100)

要找到切线，我们需要立方贝塞尔曲线的一阶导数：

Cubic Bezier definition
B(t) = (1-t)^3P0 + 3t(1-t)^2P1 + 3t^2(1-t)P2 + t^3P3    
First derivative of a bezier curve (if you'd like to see the steps I used to get here, let me know)
B'(t) = (-3P0 + 9P1 - 9P2 + 3P3)t^2 + (6P0 - 12P1 + 6P2)t + (-3P0 + 3P1)

将t = 0插入一阶导数方程，得到

B'(0) = -3P0 + 3P1

最后，回想起P0 = P1 =（100,100），所以dx / dt和dy / dt是：

dx/dt = dy/dt = -3*(100) + 3*(100) = 0

这告诉我......对于这个立方贝塞尔曲线，t = 0时没有正切。如果您要绘制图表并查看它，那就毫无意义。

我正在做的是获得非零斜率是：将点P1，P2和P3视为二次贝塞尔曲线，将它们转换为等效的三次贝塞尔曲线，然后在t = 0处找到一阶导数。有什么方法可以避免这样做吗？我发现很难接受dx / dt和dy / dt为0的正切。谢谢你的帮助。

Answer 1

{1}处的衍生B'(t)对于案例1确实未定义（对于案例2，t = 0确实未定义。）

要了解为什么会出现这种情况，我们可以在您的示例中“向后”运行de Casteljau算法，将曲线的参数范围从t = 1加倍到t = 0 ... 1。这导致以下三次贝塞尔曲线控制点：

t = -1 ... 1

如果绘制此曲线，您将看到(300,400) (0,-100) (100,200) (200,100)的原始曲线。您还会看到此扩展曲线上的t = 0.5 ... 1处有一个尖点，就在原始曲线的开头。这个尖点就是为什么你的曲线在起点上不可微分的原因。

然而，曲线的切线不与衍生物完全相同。所以如果你需要的只是切线，那么你很幸运。（导数与曲线相切，但垂直于曲线法线的任何其他矢量也是如此。）

事实证明，曲线两端的切线通常相当于：

t = 0.5

但是，如果（并且仅当）P1 - P0 at t = 0 P3 - P2 at t = 1和/或P0 = P1，那么退化点处的切线（即P2 = P3如果t = 0和/或P0 = P1 if t = 1）相当于：

P2 = P3

您可以通过将P2 - P1评估为B'(t)来验证是否属实。

事实上，如果您在t->0处将扩展曲线分成两部分，然后将t = 0.5等式应用于每一侧，您会看到有两个不同的在尖端的切线。曲线的每一半的切线指向完全相反的方向。这是另一个说明为什么导数在这一点上未定义的原因。

最后一点注意事项：像二次贝塞尔一样处理点P1，P2和P3的技巧也会给你一个正确的切线。但是，不会为您提供正确的衍生产品。

Answer 2

这个问题已经得到了正确回答，但我认为你想知道基础数学：

您正在寻找立方贝塞尔曲线的末端斜率。由于曲线（即其x和y值）在t中是参数的，因此您将区分x和y w.r.t.分开。您到达的那对可能被认为是沿着曲线行进的点的瞬时“速度”。因此，在这种情况下，点的初始速度为零（或者更准确地说是零矢量），但是（最可能）加速度（或者至少是加速度变化率的失败）将不为零，因此点的速度将变为非零（非空向量），因此它将从那些坐标移动并描绘出曲线。

但是您在视觉上感知它的斜率不是参数化的，即它不依赖于时间。 I.O.W.你要找的是dy / dx，而不是对（dx / dt，dy / dt），并且假设你的曲线在t = 0时dx / dt和dy / dt都为零，dy / dx =（ dy / dt）/（dx / dt）= 0/0这是不确定的。要对此进行评估，必须遵守L'Hopital的规则。你可以从Wikipedia article得到规则的详细处理，但基本上它意味着要评估这些不确定的极限，我们可以分别区分分子f和分母g得到f'和g'然后限制（f / g）等于极限（f'/ g'）。现在，如果p0，p1，p2和p3是定义立方体的点，那么：

dy / dt = ypart（3 *（p1 - p0）+ 6 * t *（p2 - 2 * p1 + p0）+ 3 * t ** 2 *（p3 - 3 * p2 + 3 * p1 - p0 ））

dx / dt = xpart（3 *（p1 - p0）+ 6 * t *（p2 - 2 * p1 + p0）+ 3 * t ** 2 *（p3 - 3 * p2 + 3 * p1 - p0 ））

- ＆GT; （dy / dt）/（dx / dt）= ypart（p1 - p0）/ xpart（p1 - p0）

但是当p0 == p1时，这变得不确定。现在按照L'Hopital的规则，

极限（t-> 0）[（dy / dt）/（dx / dt）] =极限（t-> 0）[（d2y / dt2）/（d2x / dt2）]

现在：

d2y / dt2 = ypart（6 *（p2 - 2 * p1 + p0）+ 6 * t *（p3 - 3 * p2 + 3 * p1 - p0））

d2x / dt2 = xpart（6 *（p2 - 2 * p1 + p0）+ 6 * t *（p3 - 3 * p2 + 3 * p1 - p0））

且在t = 0时，（d2y / dt2）/（d2x / dt2）= ypart（p2 - 2 * p1 + p0）/ xpart（p2 - 2 * p1 + p0）

但是由于p1 == p0，这变为：ypart（p2 - p0）/ xpart（p2 - p0），这正是Naaff告诉你的结果。请注意，如果连p2 == p0（真的退化曲线，特别是如果是立方体，在这种情况下它只是一条直线！），那么即使这样也是不确定的，你可以再一次区分分子和分母得到：

极限（dy / dx）=极限（t-> 0）[（d3y / dt3）/（d3x / dt3）] = ypart（p3 - p0）/ xpart（p3 - p0）

我希望它对你有用...（顺便说一下，似乎TeX-like符号在这里不像math.stackexchange那样，否则我会提供数学标记。）

当三次贝塞尔曲线上的P0 == P1时，如何计算t = 0时的非零dx / dt和dy / dt？

2 个答案: