Question

这里可以看到问题的完整背景 Details

此外，您可以尝试使用我的源代码绘制小数字的递归： Pastebin

我正在以数学的方式看待这个问题，它是一个嵌套的递归，如下所示：

Function Find(integer n, function func)
If n=1
   For i = 1 to a do func()
Elseif n=2
   For i = 1 to b do func()
Else Find(n-1,Find(n-2,func))

Function Main
   Find(n,funny)

我在Mathematica中没有Modulo-Operation的实现是：

$IterationLimit = Infinity
Clear[A]

A [a_, b_, f_, 1] := A [a, b, f, 1, p] = (f a);
A [a_, b_, f_, 2] := A [a, b, f, 2, p] = (f b);
A [a_, b_, f_, n_] := 
A [a, b, f, n, p] = (A[a, b, A[a, b, f, n - 2], n - 1]);

这显示了一般 a 和 b

的一些不错的输出

A[a, b, funny, 1]
a funny
A[a, b, funny, 2]
b funny
A[a, b, funny, 3]
a b funny
A[a, b, funny, 4]
a b^2 funny
A[a, b, funny, 5]
a^2 b^3 funny
A[a, b, funny, 6]
a^3 b^5 funny

因此，当我们查看调用Func的频率时，它似乎是^（F（n））* b ^（F（n + 1））用F（n）作为第n个斐波纳契数。所以我的问题是：我如何获得非常巨大的Fibonacci-Numbers模数p，我对此进行了大量研究，通过Fibonacci的Cycle-Lenghts读取，尝试了一些递归：

F（a + b）= F（a + 1）* F（b）+ F（a）* F（b-1）

但看起来像Recursion-Depth（log_2（1.000.000.000）〜= 30）将p分成两个数字是很多的方法，即使是第一次深度递归也是如此。

a= floor(n/2)
b= ceiling(n/2)

当我有Fib-Numbers时，乘法和取幂在我看来，这应该不是问题。

不幸的是没有：/

我仍然坚持这个问题。首先在Exponent中计算Fibonacci-Numbers并没有解决问题的正确性，我在那里应用了一个错误的Mathformula：/

所以我想到了计算公式的其他方法：

(a^(Fibonacci(n-2))*b^(Fibonacci(n-1))) mod p

但是当Fibonacci数字变得非常大时，我假设必须有一个比计算整个Fibonacci-Number更简单的方法，然后使用BigInteger / BigFloat应用离散指数函数。有人对我有暗示，我看不到进一步的进展。感谢

所以这就是我到目前为止的地方，可能只是我遗漏的一件小事，所以期待你的回复

由于

Answer 1

如果是关于计算斐波那契数，那么它就有一个非递归的，非迭代的公式。它在荷兰维基百科页面上突出显示有关斐波那契数字的内容，但在英文页面上并没有那么多。

F（n）=（（1 + sqrt（5））^ n - （1- sqrt（5））^ n）/（2 ^ n * sqrt（5））

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/nl/math/1/7/4/1747ee745fbe1fbf10fb3d9de36b8927.png

来源：http://nl.wikipedia.org/wiki/Rij_van_Fibonacci

也许你可以用这个公式做点什么。

Answer 2

您可能会发现有关计算Fibonacci and Lucas numbers的各种方法的有用的反思。在那里，我展示了如何使用基本为O（log2（n））的递归方案进行计算。它适用于大型斐波那契数字。如果你这样做所有模数都很小，你甚至不需要使用大整数工具进行计算。即使是巨大的斐波那契数字，这也会非常快。下面这个只是中等大小。

fibonacci(10000)
ans =
    33644764876431783266621612005107543310302148460680063906564769974680
081442166662368155595513633734025582065332680836159373734790483865268263
040892463056431887354544369559827491606602099884183933864652731300088830
269235673613135117579297437854413752130520504347701602264758318906527890
855154366159582987279682987510631200575428783453215515103870818298969791
613127856265033195487140214287532698187962046936097879900350962302291026
368131493195275630227837628441540360584402572114334961180023091208287046
088923962328835461505776583271252546093591128203925285393434620904245248
929403901706233888991085841065183173360437470737908552631764325733993712
871937587746897479926305837065742830161637408969178426378624212835258112
820516370298089332099905707920064367426202389783111470054074998459250360
633560933883831923386783056136435351892133279732908133732642652633989763
922723407882928177953580570993691049175470808931841056146322338217465637
321248226383092103297701648054726243842374862411453093812206564914032751
086643394517512161526545361333111314042436854805106765843493523836959653
428071768775328348234345557366719731392746273629108210679280784718035329
131176778924659089938635459327894523777674406192240337638674004021330343
297496902028328145933418826817683893072003634795623117103101291953169794
607632737589253530772552375943788434504067715555779056450443016640119462
580972216729758615026968443146952034614932291105970676243268515992834709
891284706740862008587135016260312071903172086094081298321581077282076353
186624611278245537208532365305775956430072517744315051539600905168603220
349163222640885248852433158051534849622434848299380905070483482449327453
732624567755879089187190803662058009594743150052402532709746995318770724
376825907419939632265984147498193609285223945039707165443156421328157688
908058783183404917434556270520223564846495196112460268313970975069382648
706613264507665074611512677522748621598642530711298441182622661057163515
069260029861704945425047491378115154139941550671256271197133252763631939
606902895650288268608362241082050562430701794976171121233066073310059947
366875

诀窍很简单。简单地将第2n个斐波纳契数和卢卡斯数与第n个这样的数字联系起来。它允许我们向后工作。因此，为了计算F（n）和L（n），我们需要知道F（n / 2）和L（n / 2）。显然，只要n是偶数，这就有效。对于奇数n，有类似的方案可以让我们递归地向下移动。

对于踢，我只是修改了上面的工具，接受模数。因此，要计算索引为1e15的Fibonacci数的最后6位数，它需要大约1/6秒。

tic,[Fn,Ln] = fibonacci(1e15,1000000),toc
Elapsed time is 0.161468 seconds.

Fn =
    546875

Ln =
    328127

注意：在我讨论计算Fibonacci数的递归时，我确实对所需的递归调用数做了一些评论。看到这个数字确实与Fibonacci序列本身非常相关。这很容易得出。

ACM 4744强力算法

2 个答案: