Question

我正在寻找采用整数序列并吐出封闭形式函数的编程方式。类似的东西：

鉴于：1,3,6,10,15

返回：n（n + 1）/ 2

样品可能有用;语言不重要。

Answer 1

这触及了一个极其深刻，复杂和活跃的数学领域。在某些情况下，这个解决方案几乎是微不足道的（线性复发），而在其他情况下该死的几乎不可能（想想2,3,5,7,11,13 ......）你可以先看一下generating functions例子，看看Herb Wilf的incredible书（参见第1页（2e））关于这个主题，但这只会让你到目前为止。

但我认为你最好的选择是放弃，在你需要知道答案的时候查询Sloane的全面Encyclopedia of Integer Sequences，而是花时间阅读其中一个最古怪的人物opinions。这个深刻的主题。

任何告诉你这个问题的人都可以卖给你卖蛇油（参见Wilf书（第21页）第118页。）

Answer 2

一般没有一个功能。

对于您指定的序列，The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences在其有趣的整数序列数据库中找到133个匹配项。我在这里复制了前5个。

A000217三角数：a（n）= C（n + 1,2）= n（n + 1）/ 2 = 0 + 1 + 2 + ... + n。
  0， 1,3,6,10,15 ，21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153,171,190,210,231 ，253,276,300,325,351,378,406,435,465,496,528,561,595,630,666,703,741,780,820,861,903,946,990,1035,1081 ，1128,1176,1225,1275,1326,1378,1431

A130484 Sum {0＆lt; = k＆lt; = n，k mod 6}（部分和A010875）。
  0， 1,3,6,10,15 ，15,16,18,21,25,30,30,31,33,36,40,45,45,46,48,51 ，55,60,60,61,63,66,70,75,75,76,78,81,85,90,90,91,93,96,100,105,105,106,108,111,115 ，120,120,121,123,126,130,135,135,136,138,141,145,150,150,151,153

A130485 Sum {0＆lt; = k＆lt; = n，k mod 7}（部分和A010876）。
  0， 1,3,6,10,15 ，21,21,22,24,27,31,36,42,42,43,45,48,52,57,63,63 ，64,66,69,73,78,84,84,85,87,90,94,99,105,105,106,108,111,115,120,126,126,127,129,132,136 ，141,147,147,148,150,153,157,162,168,168,169,171,174,178,183

A104619将基数为16的自然数写入第k行中k个数字的三角形中，如下所示。序列给出了前导对角线    1,3,6,10,15 ，2,1,1,14,3,2,2,5,12,4,4,4,13,6,7,11,6 ，9,9,10,7,12,13,1,0,1,10,5,1,12,8,1,1,14,1,9,7,1,4,3,1,2 ，2,1,3,4,2,7,9,2,14,1,2,8,12,2,5,10,3,5,11,3,8,15,3,14,6 ，3,7,0,4,3,13,4,2,13,4,4,0,5,9,6,5,1,15,5,12,11,6

A037123 a（n）= a（n-1）+ n的数字之和   0， 1,3,6,10,15 ，21,28,36,45,46,48,51,55,60,66,73,81,90,100,102,105 ，109,114,120,127,135,144,154,165,168,172,177,183,190,198,207,217,228,240,244,249,255,262,270,279,289 ，300,312,325,330,336,343,351,360,370,381

如果你将自己限制在多项式函数中，这很容易编码，只需要手工解决就会有些乏味。

对于某些未知的 $f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n$

，请 $a_0\ldots a_n$

现在解决方程式 $y_0=f(0)=a_0$
$y_1=f(1)=a_0+a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n$
$y_2=f(2)=a_0+2a_1+4a_2+\cdots+2^{n-1}a_{n-1}+2^na_n$
...
$y_n=f(n)=a_0+na_1+n^2a_2+\cdots+n^{n-1}a_{n-1}+n^na_n$
这只是一个线性方程组。

Answer 3

如果您的数据保证可以表达为多项式，我认为您可以使用R（或任何提供数据回归拟合的套件）。如果您的相关性恰好为1，则该线条非常适合描述该系列。

回归分析中有很多统计数据，我对计算的基础知识还不够熟悉，无法为您提供更多详细信息。

但是，this link to regression analysis in R might be of assistance

Answer 4

Axiom计算机代数系统包括用于此目的的包。你可以read its documentation here。

这是FriCAS（Axiom的一个分支）中的示例序列的输出：

(3) -> guess([1, 3, 6, 10, 15])

                 2
                n  + 3n + 2
(3)  [[function= -----------,order= 0]]
                     2
Type: List(Record(function: Expression(Integer),order: NonNegativeInteger))

Answer 5

我认为你的问题不合适。给定序列中有限数量的整数没有生成函数，下一个元素可以是任何东西。

你需要假设一下序列。是几何？算术？

Answer 6

如果您的序列来自多项式，那么分割的差异将发现以牛顿基或二项式为基础表达的多项式。请参阅this。

Answer 7

没有一般性答案;可以使用Pade approximants实现一个简单的方法;用两个词来说，假设你的序列是一个未知函数的泰勒展开系数序列，然后应用一个算法（类似于连续分数算法），以便简化＆＃34;这个泰勒展开（更准确地说：找到一个非常接近初始（和截断）函数的有理函数。千里马程序可以做到这一点：在页面上查看＆＃34; pade＆＃34; http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/maxima_28.html < / p>

另一个答案讲述了＆＃34;猜测＆＃34;包含在Axiom的FriCAS分支中（参见jmbr的上一个答案）。如果我没错;这个套餐的灵感来自Christian Krattenthaler的Rate计划;你可以在这里找到它：http://www.mat.univie.ac.at/~kratt/rate/rate.html也许查看它的来源可以告诉你其他方法。

在给定整数序列的情况下，有哪些算法可以找到闭合函数？

7 个答案: