Question

当集合包含唯一实体时，

Pascal's rule计算集合的子集非常有效。

当该集合包含重复项目时，是否对此规则进行了修改？

例如，当我试图找到字母A，B，C，D组合的计数时，很容易看出它是1 + 4 + 6 + 4 + 1（来自Pascal的三角形）= 16，如果我删除“不使用任何字母”条目，则为15。

现在，如果字母组是A，B，B，B，C，C，D怎么办？手动计算，我可以确定子集的总和是：1 + 4 + 8 + 11 + 11 + 8 + 4 + 1 = 48，但这不符合我所知的三角形。

问题：如何修改Pascal的三角形以考虑集合中的重复实体？

Answer 1

一组只包含唯一的项目。如果有重复项，那么它就不再是一个集合。

Answer 2

是的，如果您不想考虑集合，请考虑“因素”的概念。有多少因素：

p1^a1.p2^a2....pn^an

如果p1是不同的素数。如果ai都是1，那么数字是2 ^ n。一般来说，答案是（a1 + 1）（a2 + 1）...（an + 1），正如David Nehme所说。

哦，请注意你的答案是错误的，如果你不想算空集，它应该是48或47。

Answer 3

看起来你想知道有多少个子集具有3个元素。对此的数学计算非常棘手，非常快。我们的想法是，您希望将所有组合方式加在一起。所以你有C（3,4）= 4种方法，没有重复的元素。 B可以以C（1,3）= 3种方式重复两次。 B可以1次重复3次。并且C可以以C（1,3）= 3种方式重复两次。总共11个。（你手边拿到的10个是错的。抱歉。）

一般来说，尝试做那种逻辑太难了。跟踪它的更简单方法是写出一个多项式，其系数具有您想要乘以的项。对于Pascal的三角形，这很容易，多项式是（1 + x）^ n。（您可以使用重复的平方来更有效地计算它。）在您的情况下，如果元素重复两次，您将得到（1 + x + x ^ 2）因子。 3次将是（1 + x + x ^ 2 + x ^ 3）。所以你的具体问题将解决如下：

(1 + x) (1 + x + x^2 + x^3) (1 + x + x^2) (1 + x)
  = (1 + 2x + 2x^2 + 2x^3 + x^4)(1 + 2x + 2x^2 + x^3)
  = 1    + 2x   + 2x^2 +  x^3 +
    2x   + 4x^2 + 4x^3 + 2x^4 +
    2x^2 + 4x^3 + 4x^4 + 2x^5 +
    2x^3 + 4x^4 + 4x^5 + 2x^6 +
    x^4  + 2x^5 + 2x^6 +  x^7
  = 1 + 4x + 8x^2 + 11x^3 + 11x^4 + 8x^5 + 4x^6 + x^7

如果你想在代码中产生这些数字，我会使用多项式技巧来组织你的思考和代码。（你将使用系数数组。）

Answer 4

根本不需要修改Pascal的三角形。研究C（k，n），你会发现 - 你基本上需要将原始结果除以相当于字母的排列。

例如，A B1 B2 C1 D1 == A B2 B1 C1 D1，因此您需要将C（5,5）除以C（2,2）。

Answer 5

没有重复（在早期海报中注明的集合中），每个元素都在子集内或外。所以你有2 ^ n个子集。对于重复项（在“多组”中），您必须考虑每个元素在“子多组”中的次数。如果m_1，m_2 ... m_n表示每个元素重复的次数，那么子包的数量是（1 + m_1）*（1 + m_2）* ...（1 + m_n）。

Answer 6

即使数学集确实包含唯一项，但在编程的真实世界中，您可能会遇到“集合”中重复项的问题。有关示例，请参阅Lisp联盟的this thread。

Pascal的非独特集定理？

6 个答案: