如何调用DAG拓扑重组？

Question

我很长时间对直接无环图（DAG）感兴趣，在阅读了维基百科的拓扑排序之后，我没有发现任何涉及图层编号的方法的特别提及（尽管图层是广泛提到的绘图）。使用这种方法，图形在技术上不是拓扑排序的，但是知道每个节点包含层（级别）的正确数字，我们总是可以判断特定节点是否比拓扑上的“更大”。另一方面，只要我们没有有序列表，我们就无法在拓扑上枚举节点（尽管这可以通过比较节点级别的最终传统排序来完成）。

此方法允许在保持级别信息的正确性的同时实现任意连接。步骤可以是：

• 对于任何新添加的节点（没有任何连接），应用的级别为1.
• 如果请求两个节点之间的连接（从m到n）和n.level＆gt; m.level然后他们只是简单地连接，不需要其他节点的级别修复。
• 如果对于请求的连接（从m到n）n.level＆lt; = m.level，那么我们将n.level更改为（m.level + 1）并递归检查n的任何依赖关系以获得类似的级别增加（或者不增加如果递归步骤上的级别是兼容的）。
• 如果我们保留递归输入节点的列表，那么我们可以检测到循环并实现某种撤销操作的尝试（将所有受影响节点的级别返回到先前的值）

对于它们之间的任何已知节点和连接集，我们只需添加应用level = 1的所有节点，并尝试应用（忽略和撤消cicles）之间的所有已知连接。

最终级别信息不仅​​允许在拓扑上比较节点，还包含其他有用信息。例如：

• level = 1的每个节点都没有传入连接（每个路径都从其中一个开始）。因此任何DAG枚举都可以从它们开始。
• 最长路径（边数）不能长于（最大等级+ 1）

我认为对于一些人工数据（n个节点，每个Node（n）连接到Node（n + 1）），这个算法可能非常慢。但对于真实世界的数据，我尝试了它（维基百科类别 - 800,000个节点 - 2,000,000个连接）时间合适（5-10分钟），水平和周期尝试次数很少（369级，1000次循环尝试）

这个方法是新的还是众所周知的，但是在维基百科和其他资源中没有广泛呈现？既然它不是一种（技术上），它应该被称为数据重组吗？

Answer 1

可能有人之前曾想过这个，但由于最坏的情况是线性的，我很难指出你所描述的研究文章。此算法解决的问题的名称是“增量拓扑排序”（或动态，其中边缘删除也是可能的）。

Answer 2

考虑一个DAG，它由两个长度为n的“并行”有向路径组成，共享起始节点和最后一个节点。此处的层编号比拓扑顺序更具限制性。在拓扑顺序中，即使其层数较大，您也可以在路径B的第二个节点之前放置路径A的倒数第二个节点。

Answer 3

有一些论文在图表中逐步维护节点的拓扑顺序，并对您描述的算法进行了变化。

如果图表有n个节点和m边，则每次插入边时都会花费O(m + n)次。 论文询问插入k边缘需要多长时间？琐碎的，O(k * (n + m))。但实际上你可以显示更好的上限 - 类似于O(k * sqrt(m + n))足够大的k。

下面的一些链接还有更多：

http://igitur-archive.library.uu.nl/math/2007-0725-201647/2005-011.pdf

http://arxiv.org/abs/0802.1059

http://www.siam.org/proceedings/soda/2009/SODA09_120_benderm.pdf