Question

我有一个高频运行的控制回路，需要在每个周期计算一个平方根。典型的平方根函数工作正常但需要花费过多时间。由于在每个周期中取值的平方根得不到太大的值，我想找到一个迭代的平方根，它将收敛然后跟踪正确的结果。这样我就可以在每个时间步进行一次迭代，而不是很多。

问题在于，当输入发生变化时，我所见过的所有迭代平方根方法都可能会失败。特别是当输入变为零然后再次增加时，看起来会出现问题 - 这些方法并不想从零开始猜测。

我的输入范围是0-4.5，我需要大约0.01的精度，因此使用0.01的递增/递减可能需要太长时间 - 我希望它主要收敛10个周期或更少。

仅供参考我使用16 / 32bit定点输入为16bit q12。它在微控制器上，所以我对使用1K查找表不感兴趣。代码也是从simulink模型生成的，它们的表查找功能相当充满了开销。

有一个很好的解决方案吗？

Answer 1

0-4.5的范围相当小。精度为0.01，这只有450个可能的计算。您可以在编译时将它们全部计算为常量，并在运行时进行查找。

Answer 2

如果您事先知道要处理的范围，我建议您使用查找表。生成一个数组或哈希表（取决于您正在使用的语言）到您需要的精度级别，并在需要根时参考。

Answer 3

我尝试在sqrt(x)上进行二阶泰勒扩展并得到以下结果

如果y=sqrt(x)，您知道y_c = sqrt(x_c)已经：

t = x-3*x_c;
y = (12*x_c*x_c-t*t)/(8*y_c*y_c*y_c);

x越大，近似越好。对于x_c=0.01和x=0.02的最坏情况，结果0.1375与sqrt(0.02)=0.1414的实际结果或0.0039的差异0.01 1}}。

我使用C#对代码进行了测试，并看到33%加速与Math.Sqrt()相比稳定。

Answer 4

您可以使用Halley方法的一次拍摄。它具有立方收敛性，因此如果值略有变化则应该非常精确：

x_{n+1} = x_n * (x_n^2 + 3Q) / (3 x_n^2 + Q)

这会立即收敛到sqrt(Q)。