数组差异的总和

Question

是否有更有效的方法来实现这一目标： 给定大小为A的数组n以及两个正整数a和b，找到所有对floor(abs(A[i]-A[j])*a/b)上的总和(i, j)，其中{ {1}}。

0 <= i < j < n

为了优化这一点，我对数组进行了排序（int A[n]; int a, b; // assigned some positive integer values ... int total = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = i+1; j < n; j++) { total += abs(A[i]-A[j])*a/b; // want integer division here } } ），然后没有使用O(nlogn)函数。此外，我在内部for循环之前缓存了值abs，因此我可以按顺序从a[i]读取内容。我正在考虑预先计算A并将其存储在一个浮点数中，但额外的转换只会使它变慢（特别是因为我想取决于结果）。

我无法想出一个比a/b更好的解决方案。

Answer 1

是的，有一种更有效的算法。它可以在O（n * log n）中完成。我不希望有一个渐近更快的方式，但我对证据的想法很远。

算法

首先在O（n * log n）时间内对数组进行排序。

现在，让我们看一下术语

floor((A[j]-A[i])*a/b) = floor ((A[j]*a - A[i]*a)/b)

代表0 <= i < j < n。对于每个0 <= k < n，请使用A[k]*a = q[k]*b + r[k]撰写0 <= r[k] < b。

对于A[k] >= 0，我们q[k] = (A[k]*a)/b和r[k] = (A[k]*a)%b具有整数除法，对于A[k] < 0，我们有q[k] = (A[k]*a)/b - 1和r[k] = b + (A[k]*a)%b，除非{{ 1}}除b，在这种情况下我们有A[k]*a和q[k] = (A[k]*a)/b。

现在我们重写条款：

r[k] = 0

每个floor((A[j]*a - A[i]*a)/b) = floor(q[j] - q[i] + (r[j] - r[i])/b) = q[j] - q[i] + floor((r[j] - r[i])/b) 显示q[k]次带有正号码（适用于k）和i = 0, 1, .. , k-1次带有负号码（适用于n-1-k），因此其总贡献总和是

j = k+1, k+2, ..., n-1

剩余部分仍然需要考虑。现在，自(k - (n-1-k))*q[k] = (2*k+1-n)*q[k] 以来，我们已经

了

0 <= r[k] < b

当-b < r[j] - r[i] < b 时{p>和floor((r[j]-r[i])/b)为0，r[j] >= r[i]时-1为r[j] < r[i]。所以

                            n-1
 ∑ floor((A[j]-A[i])*a/b) =  ∑ (2*k+1-n)*q[k] - inversions(r)
i<j                         k=0

其中反转是(i,j)和0 <= i < j < n的一对r[j] < r[i]索引。

计算q[k]和r[k]并将(2*k+1-n)*q[k]求和在O（n）时间内完成。

仍然有效地计算r[k]数组的反转。

对于每个索引0 <= k < n，让c(k)为i < k的{​​{1}}，即r[k] < r[i]出现的倒数的数量，k更大的指数。

然后显然反转次数为∑ c(k)。

另一方面，c(k)是在稳定排序中移动r[k]后面的元素数量（稳定性在这里很重要）。

计算这些移动，因此在合并排序时很容易进行数组的反转。

因此反转也可以用O（n * log n）计算，给出总体复杂度为O（n * log n）。

代码

一个简单的不科学基准的示例实现（但是天真的二次算法与上面的差异之间的差异是如此之大，以至于不科学的基准是足够的结论）。

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <time.h>

long long mergesort(int *arr, unsigned elems);
long long merge(int *arr, unsigned elems, int *scratch);
long long nosort(int *arr, unsigned elems, long long a, long long b);
long long withsort(int *arr, unsigned elems, long long a, long long b);

int main(int argc, char *argv[]) {
    unsigned count = (argc > 1) ? strtoul(argv[1],NULL,0) : 1000;
    srand(time(NULL)+count);
    long long a, b;
    b = 1000 + 9000.0*rand()/(RAND_MAX+1.0);
    a = b/3 + (b-b/3)*1.0*rand()/(RAND_MAX + 1.0);
    int *arr1, *arr2;
    arr1 = malloc(count*sizeof *arr1);
    arr2 = malloc(count*sizeof *arr2);
    if (!arr1 || !arr2) {
        fprintf(stderr,"Allocation failed\n");
        exit(EXIT_FAILURE);
    }
    unsigned i;
    for(i = 0; i < count; ++i) {
        arr1[i] = 20000.0*rand()/(RAND_MAX + 1.0) - 2000;
    }
    for(i = 0; i < count; ++i) {
        arr2[i] = arr1[i];
    }
    long long res1, res2;
    double start = clock();
    res1 = nosort(arr1,count,a,b);
    double stop = clock();
    printf("Naive:   %lld in %.3fs\n",res1,(stop-start)/CLOCKS_PER_SEC);
    start = clock();
    res2 = withsort(arr2,count,a,b);
    stop = clock();
    printf("Sorting: %lld in %.3fs\n",res2,(stop-start)/CLOCKS_PER_SEC);
    return EXIT_SUCCESS;
}

long long nosort(int *arr, unsigned elems, long long a, long long b) {
    long long total = 0;
    unsigned i, j;
    long long m;
    for(i = 0; i < elems-1; ++i) {
        m = arr[i];
        for(j = i+1; j < elems; ++j) {
            long long d = (arr[j] < m) ? (m-arr[j]) : (arr[j]-m);
            total += (d*a)/b;
        }
    }
    return total;
}

long long withsort(int *arr, unsigned elems, long long a, long long b) {
    long long total = 0;
    unsigned i;
    mergesort(arr,elems);
    for(i = 0; i < elems; ++i) {
        long long q, r;
        q = (arr[i]*a)/b;
        r = (arr[i]*a)%b;
        if (r < 0) {
            r += b;
            q -= 1;
        }
        total += (2*i+1LL-elems)*q;
        arr[i] = (int)r;
    }
    total -= mergesort(arr,elems);
    return total;
}

long long mergesort(int *arr, unsigned elems) {
    if (elems < 2) return 0;
    int *scratch = malloc((elems + 1)/2*sizeof *scratch);
    if (!scratch) {
        fprintf(stderr,"Alloc failure\n");
        exit(EXIT_FAILURE);
    }
    return merge(arr, elems, scratch);
}

long long merge(int *arr, unsigned elems, int *scratch) {
    if (elems < 2) return 0;
    unsigned left = (elems + 1)/2, right = elems-left, i, j, k;
    long long inversions = 0;
    inversions += merge(arr, left, scratch);
    inversions += merge(arr+left,right,scratch);
    if (arr[left] < arr[left-1]) {
        for(i = 0; i < left; ++i) {
            scratch[i] = arr[i];
        }
        i = 0; j = 0; k = 0;
        int *lptr = scratch, *rptr = arr+left;
        while(i < left && j < right) {
            if (rptr[j] < lptr[i]) {
                arr[k++] = rptr[j++];
                inversions += (left-i);
            } else {
                arr[k++] = lptr[i++];
            }
        }
        while(i < left) arr[k++] = lptr[i++];
    }
    return inversions;
}