在二维数组中找到局部最小值

Question

给定一个N-by-N阵列a N ² 不同的整数，设计一个O（N）算法来找到一个局部最小值：一对索引 i 和 j 这样：

• a[i][j] < a[i+1][j]
• a[i][j] < a[i-1][j]
• a[i][j] < a[i][j+1]
• a[i][j] < a[i][j-1]

我在一个在线算法手册Introduction to Programming in Java, chapter 4.2: Sorting and Searching中找到了这个问题。

类似于问题35（同一页）：

• 给定一个N个实数的数组，写一个静态方法，以对数时间找到一个局部最小值（索引 i ，使a[i-1] < a[i] < a[i+1]）。

它有一些基于二进制搜索的解决方案，我无法找到。

Answer 1

书籍Algorithms by Robert Sedgewick and Kevin Wayne. (See "Creative problems" section, problem 19)的网络版中提到了同样的问题。

作者在that link中提出的问题的提示是：

找到行N / 2中的最小值，检查列中的邻居p和q，如果p或q小于那么在那一半重复。

更好的方法是： 找到行N / 2中的最小值，检查其列中的所有条目，如果我们在列中获得较小的条目，则在较小列条目所属的行中重复。

例如。 对于下面的数组，N = 5：

1  12  3   1  -23  
7   9  8   5   6
4   5  6  -1  77
7   0  35 -2  -4
6  83  1   7  -6

第1步：中间一行是[4 5 6 -1 77]。即。第3行。

第2步：当前行的最小条目为-1。

步骤3：最小条目的列邻居（即-1）为5和-2。 -2是最小邻居。它在第4排。

继续执行步骤2-3，直至我们获得local min。

修改

例如@anuja的评论中提到的 （主要问题是n-by-n数组。这个输入是3乘4的数组，但我们可以使用它）：

1 2 3  4 
5 1 6 -1
7 3 4 -2

第1步：中间行为[5 1 6 -1]。即。第2行。

第2步：当前行的最小条目为-1。

步骤3：最小条目的列邻居（即-1）为4和-2。 -2是最小列邻居。它排在第3行。

迭代到步骤2：-2在其行中最小，在其列邻居中最小。所以我们以-2作为局部最小值的输出结束。

Answer 2

更新：这个答案假设边缘不是局部最小值，因为它们不是由原始问题陈述中的四个比较定义的。在这种情况下，这个答案是正确的（这是不可能的）。如果你重新定义边缘可以是局部最小值的问题，那么每个矩阵至少包含一个局部最小值 - 因此你可以使用分而治之的方法。

如果边缘单元格不能是局部最小值：

如上所述，问题无法解决。 N-by-N阵列仅需要O（N ^ 2）时间来读取元素。由于矩阵中可能存在单个局部最小“隐藏”，因此这是必要的。

如果你想要一个O（N ^ 2）算法，而不是简单地走每个元素并将它与它的4个邻居进行比较需要花费O（N ^ 2）时间。

你要么误解了面试问题（而且还有更多的问题），或者这只是一个简单的编码练习。

<强>证明：

1. Construct a NxN matrix such that each cell has the value M[i,j] = N*i + j.
2. Select a random x,y (1 < x < N and 1 < y < N) and assign M[x,y] = -1

该矩阵恰好具有一个局部最小值（M [x，y]），并且其位置独立其他单元格中的值。因此，其他单元提供关于其位置的无信息，因此不可能有任何系统搜索优于预期（N ^ 2/2）单元搜索= O（N）的任何系统^ 2）。

（换句话说，除了最小值的M [x，y] = -1之外，你也可以搜索几乎所有的零矩阵M [i，j] = 0。）

此证明取决于能否在步骤1中构造一个没有局部最小值的矩阵。如果边缘单元可能是局部最小值，则每个矩阵必须有一个，并且此证明不再成立。< / p>

Answer 3

访问随机单元格。如果它的四个neigbors中的任何一个具有较小的值：去那个单元格。如果没有一个较小的东西，那么你当地的最低限度。如果可以使用具有相等值的单元格，则会更难避免循环。

更新

我们可以选择最小的neigbor而不是访问一个neigbor。

最困难的拓扑似乎是两个“同心”螺旋的情况，其中一个起螺旋堤的作用。在最坏的情况下，这仍然需要大约N / 2步。 （N =细胞数。）