Question

我想知道Fenwick树（或二进制索引树）是否可以修改为：

1）将范围中所有元素的频率增加一定量

2）查询单个元素的频率。

这与传统的Fenwick Tree相反，传统的Fenwick树在单个元素上进行更新，并且在一个范围内完成查询（类似于反Fenwick树）。

Answer 1

当然！

Fenwick树允许您在O（log n）中执行这些操作：

update(x, delta)   => increases value at index x by delta
query(x)           => returns sum of values at indices 0,1,2,...,x

这是C ++中Fenwick树的简单实现：

int F[MAX];

void update( int x, int delta ) {
  for( ++x; x < MAX; x += x&-x ) F[x] += delta;
}

int query( int x ) {
  int sum = 0;
  for( ++x; x > 0; x -= x&-x ) sum += F[x];
  return sum;
}

现在忘记Fenwick树的内部并关注问题。当使用Fenwick树时，想象一下它确实存储了一系列频率，并以某种方式神奇地在O（log n）中执行这两个操作。函数更新修改单个元素的频率，查询返回前x个元素的频率之和。

所以在'传统'问题中你有这些操作：

void incFreqAt( int index ) {
  update( index, 1 );
}

int getFreqAt( int index ) {
  return query( index ) - query( index-1 );
}

现在，不要存储每个元素的频率，而是存储相邻元素频率之间的差异。

这些是新的操作：

void incFreqFromTo( int a, int b, int delta ) {
  update( a, delta );
  update( b+1, -delta );
}

int getFreqAt( int index ) {
  return query( index );
}

当增加范围[a..b]中的频率时，只需增加指数a处的差值，然后减去指数b + 1处的差值。这也像是说：增加范围[a..infinity]中的所有频率并递减范围[b + 1..infinity]中的所有频率。

要获得索引x处元素的频率，只需加上[0..x]范围内所有频率的差值。

使用Fenwick树增加范围

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