Question

此问题取自interviewstreet.com

给定整数数组Y = y1，...，yn，我们有n个线段，这样   段i的端点是（i，0）和（i，yi）。想象一下，来自   每个片段的顶部向左侧拍摄水平光线，并拍摄此光线   当它接触另一个段或它碰到y轴时停止。我们   构造一个n个整数的数组，v1，...，vn，其中vi等于   从段顶部射出的射线长度i。我们定义V（y1，...，yn）   = v1 + ... + vn。

例如，如果我们有Y = [3,2,5,3,3,4,1,2]，那么v1，...，v8 =   [1,1,3,1,1,3,1,2]，如下图所示：



对于[1，...，n]的每个排列p，我们可以计算V（yp1，...，   YPN）。如果我们选择[1，...，n]的均匀随机置换p，那么   是V（yp1，...，ypn）的期望值？

输入格式

第一行输入包含单个整数T（1 <= T <= 100）。 Ť   测试用例如下。

每个测试用例的第一行是单个整数N（1 <= N <= 50）。   下一行包含由a分隔的正整数y1，...，yN   单个空格（0
输出格式

对于每个测试用例输出预期值V（yp1，...，ypn），舍入   小数点后的两位数。

示例输入
6
3
1 2 3
3
3 3 3
3
2 2 3
4
10 2 4 4
5
10 10 10 5 10
6
1 2 3 4 5 6
示例输出
4.33
3.00
4.00
6.00
5.80
11.15
解释

案例1：我们有V（1,2,3）= 1 + 2 + 3 = 6，V（1,3,2）= 1 + 2 + 1 = 4，V（2,1,3） =   1 + 1 + 3 = 5，V（2,3,1）= 1 + 2 + 1 = 4，V（3,1,2）= 1 + 1 + 2 = 4，V（3,2,1） =   1 + 1 + 1 = 3.这些值的平均值为4.33。

案例2：无论排列是什么，V（yp1，yp2，yp3）= 1 + 1 + 1 =   3，答案是3.00。

情况3：V（y1，y2，y3）= V（y2，y1，y3）= 5，V（y1，y3，y2）= V（y2，y3，y1）=   4，V（y3，y1，y2）= V（y3，y2，y1）= 3，这些值的平均值为   4.00。

对于N = 50，问题的天真解决方案将永远运行。我相信可以通过独立计算每根棒的值来解决问题。我仍然需要知道是否有任何其他有效的方法来解决这个问题。我们在什么基础上独立计算每根棒的价值？

Answer 1

我们可以通过弄清楚来解决这个问题：

如果 k th stick放在 i 位置，该棒的预期射线长度是多少。

然后可以通过将所有位置的所有棒的所有预期长度相加来解决问题。

让expected[k][i]成为放在 i 位置的 k 棒的预期光线长度，让num[k][i][length]为排列数 k th stick放入 i 位置，光线长度等于length，然后

expected[k][i] = sum( num[k][i][length] * length ) / N!

如何计算num[k][i][length]？例如，对于length=3，请考虑以下图表：

... ... GxxxI

I是位置，3'x'表示我们需要3支严格低于I的支杆，而G意味着我们需要一支至少同样高的支杆为I。让s_i为小于k小棍子的小棍数，g_i是大于或等于k小棍的小棍数，然后我们可以选择g_i中的任何一个放入G位置，我们可以选择任意length s_i来填充x位置，所以我们有：

num[k][i][length] = P(s_i, length) * g_i * P(n-length-1-1)

如果I之前的所有位置都小于I，我们在G中不需要更大的支持，即xxxI....，我们有：

num[k][i][length] = P(s_i, length) * P(n-length-1)

这是一段可以解决这个问题的Python代码：

def solve(n, ys):
    ret = 0
    for y_i in ys:
        s_i = len(filter(lambda x: x < y_i, ys))
        g_i = len(filter(lambda x: x >= y_i, ys)) - 1

        for i in range(n):
            for length in range(1, i+1):
                if length == i:
                    t_ret = combination[s_i][length] * factorial[length] * factorial[ n - length - 1 ] 
                else:
                    t_ret = combination[s_i][length] * factorial[length] * g_i * factorial[ n - length - 1 - 1 ]
                ret += t_ret * length

    return ret * 1.0 / factorial[n] + n

Answer 2

这是与https://cs.stackexchange.com/questions/1076/how-to-approach-vertical-sticks-challenge相同的问题，我在那里的答案（比前面给出的更简单）是：

想象一个不同的问题：如果你必须在k个槽中放置n个相同高度的木棍，那么木棍之间的预期距离（以及第一个木棍和一个名义槽之间的预期距离{{ 1}}，以及最后一个标记与名义广告位0）之间的预期距离为n+1，因为在(n+1)/(k+1)长度中有k+1个空白。

回到这个问题，一个特定的棒感兴趣的是多少棒（包括它自身）和高或高。如果这是n+1，那么之前的预期差距也是k。

因此算法只是为每个棒找到这个值并加上期望值。例如，从(n+1)/(k+1)的高度开始，高度大于或等于的横杆数量为3,2,5,3,3,4,1,2，因此预期为5,7,1,5,5,2,8,7。

这很容易编程：例如R

中的一行

9/6+9/8+9/2+9/6+9/6+9/3+9/9+9/8 = 15.25

给出sample output in the original problem

中的值

V <- function(Y){(length(Y) + 1) * sum(1 / (rowSums(outer(Y, Y, "<=")) + 1) )}

Answer 3

正确地说，我们可以为每根棍子独立解决问题。

设F（i，len）是排列数，来自标记i的光线正好是len 然后回答是

（Sum（by i，len）F（i，len）* len）/（n！）

剩下的就是计算F（i，len）。令a（i）为j的数量，即y_j <= y_i。 b（i） - 棒数，b_j> b_i。

为了获得长度为len的光线，我们需要有这样的情况。

B, l...l, O  
   len-1 times

O - 坚持#i。 B - 坚持更长的长度或开始。 l - 坚持高位，然后小于第i。

这给了我们两个案例：
1）B是开始，这可以P(a(i), len-1) * (b(i)+a(i)-(len-1))!方式实现 2）B是更大的棒，这可以用P(a(i), len-1)*b(i)*(b(i)+a(i)-len)!*(n-len)方式实现。

编辑：在（mul）中将b（i）更正为第二项，代替案例2中的（i）。

如何应对Vertical Sticks挑战？

3 个答案: