Question

假设我在z轴上有n个定义曲面的点

f(x1,y1) = 10
f(x2,y2) = 12
f(x3,y3) = 5
f(x4,y4) = 2
...
f(xn,yn) = 21

现在我希望能够近似f（x，y）。我正在寻找一种线性算法，尤其是样条逼近算法。一个示例算法或至少一些指针会很棒。

Answer 1

这是对线性近似方法的模糊描述。

确定点的Voronoi diagram（对于飞机中的每个点，找到最近的(x_i,y_i)）
如果有一个点的线段，则(x_i,y_i)和(x_j,y_j)取得Delaunay triangulation：连接(x_i,y_i)和(x_j,y_j)。是等距的（并且比任何其他对更近）。
在每个三角形上，找到穿过三个顶点的平面。这是您需要的线性插值。

以下实现Python中的前两个步骤。你的规律性网格可以让你加速（它也可能搞乱三角测量）。

import itertools

""" Based on http://stackoverflow.com/a/1165943/2336725 """
def is_ccw(tri):
    return ( ( tri[1][0]-tri[0][0] )*( tri[1][1]+tri[0][1] )
            + ( tri[2][0]-tri[1][0] )*( tri[2][1]+tri[1][1] )
            + ( tri[0][0]-tri[2][0] )*( tri[0][1]+tri[2][1] ) ) < 0

def circumcircle_contains_point(triangle,point):
    import numpy as np
    matrix = np.array( [ [p[0],p[1],p[0]**2+p[1]**2,1] for p in triangle+point ] )
    return is_ccw(triangle) == ( np.linalg.det(matrix) > 0 )

triangulation = set()
"""
A triangle is in the Delaunay triangulation if and only if its circumscribing
circle contains no other point.  This implementation is O(n^4).  Faster methods
are at http://en.wikipedia.org/wiki/Delaunay_triangulation
"""
for triangle in itertools.combinations(points,3):
    triangle_empty = True
    for point in points:
        if point in triangle:
            next
        if circumcircle_contains_point(triangle,point):
            triangle_empty = False
            break
    if triangle_empty:
        triangulation.add(triangle)

Answer 2

对不规则2D数据的插值并不容易。我知道对不规则2D没有真正的样条推广。

除了基于三角测量的方法之外，您还可以查看Barnes（http://en.wikipedia.org/wiki/Barnes_interpolation）和反距离加权（http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_distance_weighting），或者更一般地看看RBF（http://en.wikipedia.org/wiki/Radial_basis_functions）。< / p>

如果你的点非均匀扩散（密集簇），可能需要使函数的大小自适应，或者采用近似而不是插值。

Answer 3

您可以将点用作Bezier（或Bspline）曲面的控制点，尤其是(xi, yi)在XY平面中采样矩形时。在这方面，没有涉及适合。

您将获得的曲面将位于您的点的凸包中，并将在{xi, yi}的边界处相交（插值）点。

如果您想要进行实验，This forums posting似乎包含Matlab中的简单代码，如果您没有Matlab，则可以使用GuIRIT执行相同操作（虽然它需要弄清楚程序的文件格式）。

样条曲面插值

3 个答案: