如果顶点是随机连接的，则连接图形所需的预期边数？

Question

我们随机选择两个顶点并连接它们。 那么当图形连接时，预期的边数是多少？

我尝试使用归纳法解决它但无法达成答案。 什么是解决这个问题的正确方法？

Answer 1

对于给定数量的顶点 n 和选择的边数，您可以得到图形连通性的概率，作为连接图形与所有图形的比例。

所有图表的数量是 m 与 n 之间的组合数*（ n - 1）。

连接图数量的渐近公式由Edward A. Bender在The asymptotic number of labeled connected graphs with a given number of vertices and edges中给出， E. Rodney Canfield，Brendan D. McKay（不要让我解释它:-)）

最后，您必须指定“预期数字”的含义 - 您必须选择概率阈值（例如95％）并搜索 m ，其中此公式给出的概率高于这个门槛。