贪婪的方法在这里有效吗？

Question

假设有N组人和M表。我们知道每个组的大小和每个表的容量。我们如何将人们与表格相匹配，使同一组中没有两个人坐在同一张桌子上？

贪婪的方法是否适用于此问题？ （贪婪的方法如下工作：对于每个表，尝试用来自不同组的人“填充”它。

Answer 1

假设组和表的大小不一致，我认为所描述的贪婪方法不起作用（至少没有其他规范）。假设您有一个2个T1的表和一个3个T2的表，以及3个组{A1}，{B1，B2}和{C1，C2}。如果我按照你的算法，T1将收到{A1，B1}，现在你留下T2和{B2，C1，C2}，这是行不通的。然而，存在解决方案T1 {B1，C1}，T2 {A1，B2，C2}。

我怀疑以下贪婪的方法是有效的：从最大的群体开始，每个群组分配一个人，每个桌子分配一个人，挑选第一张拥有最多免费席位的人。

Answer 2

的Mathias：

  

我怀疑以下贪婪的方法是有效的：从最大的群体开始，每个群组分配一个人，每个桌子分配一个人，挑选第一张拥有最多免费席位的人。

事实上。而tkleczek的一小部分论证证明了这一点。

假设有一个解决方案。我们必须证明算法在这种情况下找到了解决方案。

如果组的数量为0，则为真空。

对于归纳步​​骤，我们必须表明，如果有任何解决方案，那么最大组中的一个成员位于每个（最大组的最大组）最大表中。

条件L：对于表的所有对（T1，T2），如果T1 <1。 T2和最大组的成员位于T1，然后最大组的另一名成员坐在T2。

让S1成为解决方案。如果S1满足L，我们就完成了。否则，存在一对（T1，T2）表，其中T1 T1，有一个小组，其成员坐在T2，但没有在T1（或在T2有一个自由的位置）。所以这两个可以交换座位（或者最大组的成员可以移动到T2的自由位置）并且我们获得一个解决方案S2，其中更少的表对违反L.因为只有有限数量的表，在有限的许多步骤之后，我们找到了满足L的解决方案。

归纳假设：对于N组的所有星座和所有M个表，如果有解，算法将找到解决方案。

现在考虑存在解决方案的（N + 1）组和M表的星座。通过上述，还存在根据算法放置最大组的成员的解决方案。放置它们。这将问题减少到可解决的N组星座和M＆＃39;表格，根据归纳假设通过算法求解。

Answer 3

以下贪婪的方法有效：

重复以下步骤，直到没有座位：

1. 选择最大的组和最大的表
2. 将所选组中的一个人与所选表格匹配
3. 将组大小和表格大小减少1。

证明：

我们必须证明，在执行一个步骤后，我们仍然可以达到最佳解决方案。

让我们称最大团体的任何成员都是个酷人。 假设有一个不同的最佳解决方案，其中没有酷人坐在最大的桌子上。让我们选择坐在这个解决方案中最大的桌子上的任何人，并称之为蹩脚的家伙。 他必须属于不超过酷组的大小组。所以有另一张桌子坐着一个很酷的家伙，但没有蹩脚的家伙。我们可以安全地交换跛脚和酷人的座位，这也是最佳解决方案。