伽罗瓦域中的加法和乘法

Question

我试图在极其有限的嵌入式平台上生成QR码。除了生成纠错码字之外，the specification中的所有内容似乎都相当简单。我已经看了一堆现有的实现，他们都试图实现一堆直接超越我的头的多项式数学，特别是关于Galois域。在数学复杂性和内存需求方面，我能看到的最简单的方法是在规范本身中列出的电路概念：

通过他们的描述，我相信我可以实现这一点，除了标有GF（256）加法和GF（256）乘法的部分。

他们提供这方面的帮助：

  

QR码的多项式算法应使用逐位模2算法和逐字节计算   modulo 100011101算术。这是2 ^ 8的伽罗瓦场   100011101表示场的模数   多项式x ^ 8 + x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 + 1。

这对我来说非常希望。

所以我的问题是：在这种伽罗瓦域算术中执行加法和乘法的最简单方法是什么？假设两个输入数字都是8位宽，我的输出也需要是8位宽。几个实现预先计算或硬编码在两个查找表中以帮助解决这个问题，但我不确定如何计算这些，或者我将如何在这种情况下使用它们。我宁愿不为这两个表采用512字节内存命中，但它实际上取决于替代方案。我真的需要帮助理解如何在这个电路中进行单个乘法和加法运算。

Answer 1

实际上只需要一张桌子。这将是GP（256）倍增。请注意，所有算术都是无进位的，这意味着没有进位传播。

无携带的加法和减法等同于xor。

所以在GF（256）中，a + b和a - b都等同于a xor b。

GF（256）乘法也是无进位的，并且可以使用无进位乘法以类似的方式进行无进位加法/减法。这可以通过说Intel's CLMUL instruction set的硬件支持来有效地完成。

然而，困难的部分是减少模100011101。在正常的整数除法中，您可以使用一系列比较/减法步骤来完成。在GF（256）中，您使用一系列比较/ xor步骤以几乎相同的方式完成它。

事实上，只要预先计算所有256 x 256乘法并将它们放入65536条目的查找表中，它就更快了。

以下pdf的第3页对GF256算法有很好的参考：

http://www.eecs.harvard.edu/~michaelm/CS222/eccnotes.pdf

Answer 2

（我在第一个答案中跟踪zxing的指针，因为我是作者。）

关于添加的答案是完全正确的;这就是为什么在这个领域工作在计算机上很方便的原因。

请参阅http://code.google.com/p/zxing/source/browse/trunk/core/src/com/google/zxing/common/reedsolomon/GenericGF.java

是乘法有效，适用于GF256。 a * b实际上与exp（log（a）+ log（b））相同。而且因为GF256只有256个元素，所以只有255个“x”的唯一幂，对于log也是如此。所以这些很容易放在查找表中。这些表将在256处“环绕”，这就是你看到“％size”的原因。 “/ size”在一个句子中稍微难以解释 - 这是因为真的1-255“环绕”，而不是0-255。所以它不仅仅是一个简单的模数。

最后一部分也许就是你如何减少一个不可约多项式的模。不可约多项式是x ^ 8加上一些低幂项，右 - 称之为I（x）= x ^ 8 + R（x）。根据定义，多项式在场中与0一致; I（x）== 0.所以x ^ 8 == -R（x）。并且，方便地，加法和减法是相同的，因此x ^ 8 == -R（x）== R（x）。

我们需要减少高功率多项式的唯一时间是构造指数表。你只需要乘以x（这是一个左移）直到它变得太大 - 得到一个x ^ 8项。但是x ^ 8与R（x）相同。所以你取出x ^ 8并加入R（x）。 R（x）仅具有高达x ^ 7的幂，因此它仍然在一个字节中，全部在GF（256）中。而且您知道如何在此字段中添加。

可帮助？