数字配方/多维根搜索（使用newt）：如何最小化最大错误

Question

这个问题与“C ++中的数字配方”一书有关，因此它将保留给了解它的人以及多维优化。

我正在编写一个需要搜索多维根的程序，为了解决这个问题，我使用的是多维牛顿根查找方法，即“newt”过程。

对于那些对细节感兴趣的人，我试图根据一些特征点（两个摄像头看到的特征点）将可变形3D模型拟合到一个物体的立体视图。

为此，我使用了具有以下内容的newt过程：

• 11输入参数：我的可变形模型可以用11个参数建模（由5个几何参数和6个3D对象位置的自由度组成）：
• 14输出参数我需要找到根：基于相机识别的特征点，并给出“输入参数”的设置，我可以计算一组距离在相机看到的特征点和它们的理论位置之间。我有7个这样的点，所以这给了我14个参数（7个距离乘以2，因为我计算两个摄像机的距离）

我的问题是我有比输入参数（11）更多的输出参数（14）：每当我调用“newt”时，算法总是会收敛，但是它会找到一个解决方案，几乎完美地最小化了11个第一个输出参数，但是在剩下的3个参数上有很多错误。

但是我希望错误在输出参数之间统一划分。

我已经尝试了下面描述的方法：

1. 尝试将14个输出参数组合成11个参数（for 例如，你取一些距离的平均值，而不是使用 两个距离）。但是我对这种方法并不是100％满意
2. 根据以下原则混合多种解决方案：
   • 致电mnewt并记住找到的根
   • 更改14输出参数的顺序
   • 再次致电mnewt并记住找到的根
   • 计算解决方案是两个找到根的平均值

有没有人知道一种更通用的方法，其中根查找算法会支持在输出参数之间均匀划分的错误，而不是支持第一个参数？

Answer 1

您尝试通过求解F(x)来尽量减少f(x)=0，其中x是m维向量，f将此映射为n维向量。如果m < n（在您的情况下为11＆lt; 14），您的优化问题欠定。

对于此类系统，解决这些问题的一般方法是最小化x上的向量范数。您可以通过针对x^T A x + c f(x)^T f(x)和拉格朗日乘数 x最小化系统c来实现此目的。如果没有进一步的信息，您可以将A作为nxn 单位矩阵。这将找到x解决f(x)=0，同时具有最小的范数。

有关使用牛顿方法执行此操作的详细信息，请参阅例如这paper。