我编写了一个线性求解器，采用ANSI C中的Householder反射/变换，解决了给定A和b的Ax = b。我想用它来找到与特征值相关的特征向量，如下所示：
(A-lambda*I)x = 0
问题是0向量总是我得到的解决方案（在有人说出之前，是的，我有100％确定性的正确特征值）。
以下是一个非常准确地说明问题的示例：
鉴于A-lambda*I（例如恰好是Hermitian）：
1 2 0 | 0
2 1 4 | 0
0 4 1 | 0
Householder反思/转换将产生类似这样的东西
# # # | 0
0 # # | 0
0 0 # | 0
后面替换会发现解决方案显然是{0,0,0}。
答案 0 :(得分：4)
自从我写了一个eigensolver以来已经有一段时间了，但我似乎记得诀窍是将它从(A - lambda*I) * x = 0重构为A*x = lambda*x。然后你的Householder或Givens步骤会给你一些类似的东西：
# # # | #
0 # # | #
0 0 1 | 1
...从中可以在不到达退化0向量的情况下进行替换。通常，您也希望以标准化形式提供x。
我的记忆非常生疏，所以我建议您查看Golub & Van Loan以获得明确答案。有一些技巧可以使这种方法有效地运作，特别是对于非对称情况。
答案 1 :(得分：1)
这与@Drew基本上是一样的答案，但解释有点不同。
如果A是矩阵
1 2 0
2 1 4
0 4 1
那么特征值是lambda = 1,1 + sqrt（20），1-sqrt（20）。让我们简单地看一下lambda = 1.然后系统(A - lambda*I) * x = 0的增广矩阵是
0 2 0 | 0
2 0 4 | 0
0 4 0 | 0
现在你做Householder / Givens将它减少到上三角形。正如你所说，你会得到一些形式
# # # | 0
0 # # | 0
0 0 # | 0
但是，最后#应为零（或几乎为零）。你得到的确切取决于你所做的转变的细节，但如果我手工完成，我会得到
2 0 4 | 0
0 2 0 | 0
0 0 0 | 0
现在你做后退。在第一步中，您将解决最后一行中的等式。但是，此等式不会产生任何信息，因此您可以将x[2]（向量x的最后一个元素）设置为您想要的任何值。如果将其设置为零并继续使用该值进行反向替换，则会得到零向量。如果将其设置为一（或任何非零值），则会得到非零向量。 Drew的答案背后的想法是用0 0 1 | 1替换最后一行，将x[2]设置为1。
舍入误差意味着最后#（应该为零）可能不是很零，而是一些小值，如1e-16。这可以忽略：只需将其设为零并将x[2]设置为1。
强制警告：我认为您是出于娱乐或教育目的而实施的。如果您需要在严格的代码中找到特征向量，那么最好使用其他人编写的代码，因为这样做很难实现。