Question

我想在Python中实现Karatsuba's 2-split multiplication。但是，以表格

编写数字

A=c*x+d

其中x是基数（令x = b ^ m）接近sqrt（A）的幂。

如果我甚至不能使用除法和乘法，我该如何找到x？我应该计算位数并将A向左移动一半的位数吗？

感谢。

Answer 1

几乎。你不要将A移位数字的一半;你移位1.当然，这只有在基数是2的幂时才有效，因为基数10（例如）中的“移位”必须用乘法来完成。（编辑：好吧，好吧，你可以乘以班次和加法。但它的功能更加简单，功能为2。）

如果您使用的是Python 3.1或更高版本，则计算位很容易，因为3.1引入了int.bit_length()方法。对于其他版本的Python，您可以通过复制A并将其向右移动直到它为0来对位进行计数。这可以在O（log N）时间（N =数字的数字）中使用一种二进制搜索方法完成 - 转换为很多位，如果它是0则那么太多，等等。

Answer 2

自从我开始写这篇文章以来，你已经接受了答案，但是：

汤姆说：在Python 3.x中你可以直接得到n = int.bit_length（）。在Python 2.x中，你通过二进制搜索得到n（log2（A））时间，如下所示。

这是计算两者的（2.x）代码。设x的base-2指数为n，即x = 2 ** n。

首先，通过移位进行二元搜索得到n。（实际上我们只需要n / 2，所以这是一次不必要的最后一次迭代）。然后当我们知道n时，获得x，c，d很容易（仍然没有使用除法）

def karatsuba_form(A,n=32):
    """Binary-search for Karatsuba form using binary shifts"""
    # First search for n ~ log2(A)
    step = n >> 1
    while step>0:
        c = A >> n
        print 'n=%2d step=%2d -> c=%d' % (n,step,c)
        if c:
            n += step
        else:
            n -= step
        # More concisely, could say: n = (n+step) if c else (n-step)
        step >>= 1
    # Then take x = 2^(n/2) ˜ sqrt(A)
    ndiv2 = n/2
    # Find Karatsuba form
    c = (A >> ndiv2)
    x = (1 << ndiv2)
    d = A - (c << ndiv2)
    return (x,c,d)

Answer 3

您提到的文章已经回答了您的问题：“Karatsuba的基本步骤适用于任何基数B和任何m，但当m等于n / 2时，递归算法效率最高，向上舍入”.. 。n是位数，0＆lt; = value_of_digit＆lt;乙

可能有所帮助的一些观点：

您被允许（并且必须！）在学校算术中使用基本操作，例如number_of_digits // 2和divmod(digit_x * digit_x, B) ...，其中B为10，您需要（例如）知道divmod(9 * 8, 10)生成(7, 2)。

在计算机上实现大数字运算时，通常使B成为2的最大幂，可以方便地支持基本乘法运算。例如，在32位机器上的CPython实现中，B被选择为2 ** 15（即32768），因为product = digit_x * digit_y; hi = product >> 15; lo = product & 0x7FFF;工作时没有溢出而没有关注符号位。

我不确定你在Python中使用B == 2实现了什么，数字由Python int表示，其在C中的实现已经使用Karatsuba算法来乘以足够大的数字让它值得。它不可能是速度。

作为学习练习，您可能希望尝试将数字表示为数字列表，其中基数B是输入参数。

关于karatsuba乘法的问题

3 个答案: