Question

设计一个函数f：

f（f（x））== 1 / x

其中x是32位浮点数

或者怎么样

给定函数f，找到函数g   这样

f（x）== g（g（x））

另请参阅

Interview question: f(f(n)) == -n

Answer 1

对于第一部分：这一部分比f（f（x））= -x更为平凡，IMO：

float f(float x)
{
    return x >= 0 ? -1.0/x : -x;
}

第二部分是一个有趣的问题，这个问题的基础是the original question的明显概括。有两种基本方法：

一种数值方法，使得x≠f（x）≠f（f（x）），我认为这更符合原问题的精神，但我认为在一般情况下是不可能的< / LI>
一种涉及g（g（x））恰好调用f的方法

Answer 2

嗯，这是C快攻：

extern double f(double x);
double g(double x)
{
  static int parity = 0;
  parity ^= 1;
  return (parity ? x : f(x));
}

但是，如果你这样做会失败：

a = g(4.0); // => a = 4.0, parity = 1
b = g(2.0); // => b = f(2.0), parity = 0
c = g(a);   // => c = 4.0, parity = 1
d = g(b);   // => d = f(f(2.0)), parity = 0

一般来说，如果f是双射f：D→D，你需要的是一个函数σ，它将域D划分为A和B，这样：

D =A∪B，（分区是合计的）
∅=A∩B（分区不相交）
σ（a）∈B，f（a）∈A∀a∈A，
σ（b）∈A，f（b）∈B∀b∈B，
σ具有反σ^-1 s.t. σ（σ^-1（d））=σ^-1（σ（d））=d∀d∈D。
σ（f（d））= f（σ（d））∀d∈D

然后，你可以这样定义g：

g（a）=σ（f（a））∀a∈A
g（b）=σ^-1（b）∀b∈B

这适用于b / c

∀a∈A，g（g（a））= g（σ（f（a））。由（3），f（a）∈A所以σ（f（a））∈Bso g（ σ（f（a））=σ^-1（σ（f（a）））= f（a）。
∀b∈B，g（g（b））= g（σ^-1（b））。由（4），σ^-1（b）∈A所以g（σ^-1（b））=σ（f（σ^-1（b）））= f（σ（σ^-1（b）））= f（b）。

你可以从Miles回答中看到，如果我们忽略0，那么操作σ（x）= -x适用于f（x）= 1 / x。您可以检查1-6（对于D =非零实数），A为正数，B为负数。使用双精度标准，有一个+0，一个-0，一个+inf和一个-inf，这些可用于使域总数（适用于所有双精度数，而不仅仅是非零数。）

同样的方法可以应用于f（x）= -1问题 - 使用σ（x）=（x - 1）将剩余的mod 2分隔空间的接受解决方案，特别处理零情况

Answer 3

我喜欢早期帖子中的javascript / lambda建议：

function f(x)
{
   if (typeof x == "function")
       return x();
   else
       return function () {return 1/x;}
}

Answer 4

其他解决方案暗示需要额外的状态。以下是对此的更多数学证明：

let f(x) = 1/(x^i)= x^-i

（其中^表示指数，i是虚常数sqrt（-1））

f(f(x)) = (x^-i)^-i) = x^(-i*-i) = x^(-1) = 1/x

因此存在复杂数字的解决方案。我不知道是否有一般性解决方案严格遵守实数。

Answer 5

同样，它被指定为32位数字。使返回有更多位，使用它们在调用之间传递状态信息。

Const
    Flag = $100000000;

Function F(X : 32bit) : 64bit;

Begin
    If (64BitInt(X) And Flag) > 0 then
        Result := g(32bit(X))
    Else
        Result := 32BitInt(X) Or Flag;
End;

对于任何函数g和任何32位数据类型32位。

Answer 6

还有另一种解决方法，它使用分数线性变换的概念。这些是发送x->（ax + b）/（cx + d）的函数，其中a，b，c，d是实数。

例如，您可以使用某些代数证明，如果f由f（x）=（ax + 1）（ - x + d）定义，其中a ^ 2 = d ^ 2 = 1且a + d＆lt;＆gt; 0然后对于所有实数x，f（f（x））= 1 / x。选择a = 1，d = 1，这就解决了C ++中的问题：

float f(float x)
{
    return (x+1)/(-x+1);
}

证明是f（f（x））= f（（x + 1）/（ - x + 1））=（（x + 1）/（ - x + 1）+1）/（ - （ X + 1）/（ - X + 1）+1）抵消（1-x）时=（2 /（1-x））/（2x /（1-x））= 1 / x。

除非我们允许定义满足1 / inf = 0,1 / 0 = inf的“无限”值，否则这对x = 1或x = 0不起作用。

Answer 7

g(g(x)) == f(x)的C ++解决方案：

struct X{
    double val;
};

X g(double x){
    X ret = {x};
    return ret;
}

double g(X x){
    return f(x.val);
}

这是一个更短的版本（我更喜欢这个:-)）

struct X{
    X(double){}
    bool operator==(double) const{
        return true
    }
};

X g(X x){
    return X();
}

Answer 8

如果f(x) == g(g(x))，则g被称为f的{{3}}。即使你允许 x 复杂，我也不认为有一般的封闭形式（你可能想去mathoverflow讨论:)）。

Answer 9

基于this answer，广义版本的解决方案（作为Perl单线程）：

sub g { $_[0] > 0 ? -f($_[0]) : -$_[0] }

应始终翻转变量的符号（a.k.a.状态）两次，并且应始终只调用f()一次。对于那些不足以获得Perl隐含回报的语言，只需在return之前点击{，就可以了。

只要f()不更改变量的符号，此解决方案就可以正常工作。在这种情况下，它返回原始结果（对于负数）或f(f())的结果（对于正数）。替代方法可以将变量的状态存储为偶数/奇数，就像前一个问题的答案一样，但如果f()改变（或可以改变）变量的值，它就会中断。如前所述，更好的答案是lambda解决方案。这是Perl中类似但不同的解决方案（使用引用，但概念相同）：

sub g {
  if(ref $_[0]) {
    return ${$_[0]};
  } else {
    local $var = f($_[0]);
    return \$var;
  }
}

注意：这已经过测试，并且不有效。它总是返回对标量的引用（并且它始终是相同的引用）。我已经尝试了一些东西，但是这段代码显示了一般的想法，虽然我的实现是错误的，并且方法甚至可能有缺陷，但它是朝着正确方向迈出的一步。有了一些技巧，你甚至可以使用一个字符串：

use String::Util qw(looks_like_number);

sub g {
  return "s" . f($_[0]) if looks_like_number $_[0];
  return substr $_[0], 1;
}

Answer 10

试试这个

MessageBox.Show( "x = " + x );
MessageBox.Show( "value of x + x is " + ( x + x ) );
MessageBox.Show( "x =" );
MessageBox.Show( ( x + y ) + " = " + ( y + x ) );

面试问题：f（f（x））== 1 / x

另请参阅

10 个答案: