仅使用平移和旋转将一组2d点与另一组对齐

Question

我在OpenCV工作，但我认为没有这方面的功能。我可以找到一个查找仿射变换的函数，但仿射变换包括缩放，我只想考虑旋转+平移。

想象一下，我在2d中有两组积分 - 让我们说每组都有50分。

E.g。设置A = {x1，y1，x2，y2，...，x50，y50}

设置B = {x1'，y1'，x2'，y2'，...，x50'，y50'}

我想找到最接近映射集A到集合B的旋转和平移组合。我想我将定义“最接近”作为最小化A中的点与BIe中的对应点之间的平均距离，最小化平均距离介于（x1，y1）和（x1'，y1'）等之间

我想我可以使用蛮力测试所有可能的翻译和旋转，但这将是非常低效的。有谁知道更简单的方法？

谢谢！

Answer 1

就接近矩阵的奇异值分解（点对之间的距离）而言，该问题具有非常优雅的解决方案。这个名字是orthogonal Procrustes problem，是希腊传说中一位为旅行者提供适合任何人的床的人。

解决方案来自于找到与给定（不一定是正交）矩阵最接近的正交矩阵。

Answer 2

我在Excel中执行此操作的方法是创建一些代表点的列。 表示集合的旋转/平移的单元格（无需旋转和平移它们）。 然后表示旋转/翻译相同点的列 然后是另一列，用于旋转/平移点的点之间的距离 然后是点之间距离之和的单元格。 最后，使用Solver优化旋转和平移单元格。

Answer 3

如果您修复了一些轮换，可以使用ternary search获得答案。在x中运行搜索，对于每个测试的x，在y中运行它以获得最佳值。这将给出正确的答案，因为函数（相应距离的总和）是凸的（这可以通过观察函数对任何线的限制是一维凸函数来证明;并且最后是标准事实：几个凸函数的和是凸的）。 代替在角度上的强力，我可以提出基于三元搜索的这种方法。选择一些不是很大的步骤S.为（0，S，2S，...）中的每个角度计算目标函数。然后，如果S足够小，我们可以排除一些段（iS，（i + 1）S）。即具有角度为iS和（i + 1）S的函数值相对较大的那些。仔细实施这可以给出答案，并且可以比蛮力更快地完成。