Question

我很确定这是这个问题的正确网站，但如果它更适合那里，请随意将其移至其他堆栈交换网站。

假设您有一个分数a1/d1 + a2/d2 + … + an/dn的总和。您想要计算一个公共分子和分母，即将其重写为p/q。我们有公式

p = a1*d2*…*dn + d1*a2*d3*…*dn + … + d1*d2*…d(n-1)*an
q = d1*d2*…*dn.

计算这些内容的最有效方法是什么，尤其是p？你可以看到，如果你天真地计算它，即使用我上面给出的公式，你会计算很多冗余的东西。例如，您将计算d1*d2 n-1次。

我的第一个想法是迭代计算d1*d2，d1*d2*d3，...和dn*d(n-1)，dn*d(n-1)*d(n-2)，......但即使这样效率也很低，因为你最终会计算乘法在“中间”两次（例如，如果n足够大，您将计算两次d3*d4。

我确信这个问题可以用某种图形理论或组合学来表达，但我还没有研究过足够的东西以便对它有一个良好的感觉。

还有一个注意事项：我不关心取消，只是最有效的繁殖方式。

更新：

我应该知道stackoverflow上的人会假设这些是数字，但我已经习惯了我的用例，我忘了提这个。

我们不能只从每个术语中“划分”an。这里的用例是一个符号系统。实际上，我正在尝试在SymPy computer algebra system中修复一个名为.as_numer_denom()的函数，该函数目前以天真的方式计算它。请参阅corresponding SymPy issue。

划分事情有一些问题，我想避免。首先，不能保证事情会取消。这是因为在数学上，(a*b)**n != a**n*b**n一般来说（如果a和b是正数，但是例如，如果a == b ==-1和n == 1/2，则得到(a*b)**n == 1**(1/2) == 1 1}}但是(-1)**(1/2)*(-1)**(1/2) == I*I == -1）。所以我认为假设除以an将在表达式中取消它（这可能实际上是没有根据的，我需要检查代码的作用）并不是一个好主意。

其次，我还想将此算法应用于计算有理函数的总和。在这种情况下，这些项将自动乘以一个多项式，并且“除去”每个an将涉及应用多项式除法算法。你可以看到，在这种情况下，你真的想要首先计算最有效的乘法。

更新2：

我认为我对取消象征性术语的担忧可能毫无根据。 SymPy不会自动取消x**n*x**(m - n)之类的内容，但我认为通过乘法组合的任何指数也会通过除法组合，因此权力应该取消。

常量会自动分配添加内容，例如：

In [13]: 2*(x + y)*z*(S(1)/2)
Out[13]: 
z⋅(2⋅x + 2⋅y)
─────────────
      2

但这是第一个bug，第二个永远不会成为问题（我认为），因为1/2会被1和2分解为算法每个术语的分子和分母。

尽管如此，我仍然想知道如何在不从每个术语“分割”di的情况下做到这一点，这样我就可以有一个有效的算法来总结合理的函数。

Answer 1

计算两个新数组：

第一个包含左侧的部分倍数：l[0] = 1, l[i] = l[i-1] * d[i]

第二个包含右侧的部分倍数：r[n-1] = 1, r[i] = d[i] * r[i+1]

在这两种情况下，1都是你工作的戒指的乘法身份。

然后，您的每个字词都位于顶部，t[i] = l[i-1] * a[i] * r[i+1]

这假设乘法是关联的，但它不一定是可交换的。

作为第一个优化，您实际上不必将r创建为数组：您可以执行第一次传递来计算所有l值，并累积r在第二次（向后）传递期间的值以计算加数。无需实际存储r值，因为您按顺序使用每个值。

在你的问题中，你说这会计算d3*d4两次，但事实并非如此。它确实将两个不同的值乘以d4（一个是右乘，另一个是左乘），但这并不是一个重复的操作。无论如何，对于在非交换乘法或非场环中不起作用的另一种方法，乘法的总数约为4*n，而2*n乘法和n除法。

Answer 2

如果你想在上面的表达式中计算p，一种方法是将所有分母相乘（在O（n）中，其中n是分数的数量），让这个值为D。然后，迭代所有分数，对于每个分数，分子a _i和分母d _i，计算_i * D / d <子> I 。最后一个术语等于分数的分子和除了它自己之外的所有分母的乘积。这些术语中的每一个都可以在O（1）时间内计算（假设您正在使用硬件乘法，否则可能需要更长时间），并且您可以在O（n）时间内对它们进行求和。

这给出了一个O（n）时算法，用于计算新分数的分子和分母。

Answer 3

不是一次性添加n商，而是使用成对添加商。

如果事物在部分和中抵消，则数字或多项式保持较小，这使计算更快。
您可以避免多次计算同一产品的问题。

您可以尝试以某种方式订购添加内容，以便更有可能取消（可能先添加小分母的商数？），但我不知道这是否值得。

如果你从头开始，这更容易实现，但我不确定它是否适合替代SymPy中有问题的例程。

修改：为了使其更明确，我建议将a1/d1 + a2/d2 + … + an/dn计算为(…(a1/d1 + a2/d2) + … ) + an/dn。

Answer 4

我还指出，你可以手动筛选出共同的分母，并将这些分组合并而不是乘法。

最有效的算法来计算分数总和的常用分子

4 个答案: