在图中，如何计算节点可以有效达到的所有节点的总和？

Question

给定有向图，将权重分配给每个节点 从任何节点A开始，将有一组可以从A到达的节点 将SUM定义为此集合的总权重。

问题： 如何有效地计算该图中每个节点的SUM？ 该图可能包含数百万个节点。

更新1：
图数据结构由一组起始节点组成，每个节点都有一组指向节点。

我尝试了什么：
递归计算每个节点的后代，并根据后代集计算SUM。这种递归效率非常低，因为我必须多次设置union，uteration操作。此外，我试图在每个节点缓存后代集。但是，它很容易耗尽内存 那么，还有其他解决方案吗？

更新2：
示例图，边缘全部是定向的，上部节点指向下部节点

结果应该是
    SUM（1）= 55     SUM（2）= 35     SUM（3）= 41     SUM（4）= 19     SUM（5）= 22     SUM（6）= 25     ...

Answer 1

找到图表的SCC（Tarjan的算法，或双DFS运行）。

对于每个SCC计算它的节点权重之和，用PARTIAL-SUM表示该值。

以反向拓扑顺序迭代SCC;对于每个SCC中的每个节点，其SUM将是相邻SCC的所有SUM值加上它自己的PARTIAL-SUM值的总和。

线性运行时间O(E+V)因为找到SCC是线性的，拓扑排序是线性的，并且求和是线性的，因为我们最多访问每个SCC一次，每个分支最多一次。

修改

正如tzkuzzy并行路径的评论中所指出的那样构成问题。通过SCC图上的简单DFS运行可以轻松解决这个问题。在任何跨边缘上，我们只需将已访问过的节点放在DFS树上，直到我们到达未完全搜索的父节点，这对节点（底部访问的节点和祖先）之间有两条不同的路径，我们为这些后代的每个节点创建一个列表，并且总和只是减去它们的PARTIAL-SUM值。

所以如果：

 u
/ \
\ /
 w

我们的DFS会选择从u到w的子节点连接的交叉边缘，并追溯到u（对于熟悉学校教授的典型DFS的人来说）最简单的解释是，u被定义为w的第一个灰色祖先，因此我们将w添加到我们在u上维护的列表中。

然后，当我们按照描述对每个SCC的相邻SCC求和时，我们添加一个额外的步骤，我们遍历所提到的列表并简单地减去PARTIAL-SUM值。

DFS本身仍然是线性的。如果我们缓存结果，那么从节点到祖先的回溯可以是线性的（这样我们不会多次遍历同一个边缘）。总和中的额外工作最多为O(V)，因此我们没有更改运行时间。

修改

包含 - 排除使得这比我最初的想法更难。此解决方案不完整，不起作用。每个节点的简单BFS更昂贵，但更容易实现。

Answer 2

我以前的回答是个好主意但是包含 - 排除交叉子树很难解决（我认为你的递归方法也会受到影响）。想一想，我开始怀疑在这个问题中是否存在最优的子结构，这将导致动态编程解决方案...

我将提出一个更简单（虽然效率更低）的解决方案：

对于每个节点，运行BFS / DFS并对遇到的所有节点的值求和。它将在O(V)空间和O(V(E+V)) = O(EV)时间运行，但 super 很容易实现，不需要递归。

您可以通过查找SCC图进行优化，而不是在每个节点上执行BFS / DFS，对每个SCC执行一次。如果图表是“cliquey”，这可能会增加一个巨大的运行时间。