p==q 时的 RSA 加密

Question

我两天前参加了 DawgCTF。 我正要解决RSA问题，但我无法解决。

DawgCTF 的 RSA 问题给出了 n、e、c。

所以，我用factordb对n进行了因式分解，n的结果是只有一个素数的平方。（即n=p^2）
我从未见过在 RSA Crypto 中 p 和 q 相同的情况。 无论如何，我让 phi 为 (p-1)(q-1) 并编写如下代码。 （phi 表示欧拉的 phi）

from Crypto.Util.number import inverse, long_to_bytes
import string

n = ~~~ 
e = 65537
c = ~~~
p = ~~~ # I omit q because p==q


phi = (p-1) * (p-1)
d = inverse(e, phi)
m = pow(c, d, n)

m = long_to_bytes(m)
print(m)

但是，它没有用！！！

在CTF之后，我找了一篇文章，他没有把phi写成(p-1)^2，而是p*(p-1)。 但是，我不知道为什么... 为什么当 p==q 时 phi 应该是 p*(p-1)？？

如果您能解释一下，我将不胜感激。

Answer 1

phi(p * q) = phi(p) * phi(q) = (p - 1) * (q - 1) 中的第一个等号假定 p 和 q 互质（参见 [1]），而第二个等号假定 p 和q 是素数（参见 [2]、k = 1）。 p = q 违反了第一个条件，这就是为什么此关系对于 p = q 无效。

另一方面，对于 k = 2，它遵循 [2] phi(p * p) = p * (p - 1)，即 p = q 的 CTF 解决方案中使用的关系。

然而，对于实践中的 RSA，p != q 是先决条件，请参阅 [3] 和 [4]（否则 p 和 q 可以快速确定：{ {1}}）。