Question

关闭闭门器的注意事项：这是关于编程语言（Mathematica）的问题，而不是关于学科/科学（数学）的问题。

为什么

N[D[Sin[x], x] /. x -> Pi/4]
(*
Out -> 0.707107
*)

但

N[D[Abs[x], x] /. x -> Pi/4]
(*
Out -> Derivative[1][Abs][0.785398]
*)

强制数字结果的更好方法是什么？

Answer 1

Abs[z]不是holomorphic function，因此其衍生物在复杂平面（Mathematica使用的默认域）上没有明确定义。这与例如Sin[z]不同，后者的复数导数（即，与其论证有关）总是被定义。

更简单地说，Abs[z]取决于z和z*，因此应该将其视为两个参数函数。 Sin[z]仅取决于z，因此只需一个参数即可。

正如Leonid所指出的那样，一旦你将域限制为实数，那么导数就会被很好地定义（除了可能在x=0，他们已经取得了左右的平均值衍生物）

In[1]:= FullSimplify[Abs'[x],x \[Element] Reals]
Out[1]= Sign[x]

正如Szabolcs所述（在评论中），FunctionExpand将简化数值表达式，但“FunctionExpand使用的某些转换只是一般有效”。

ComplexExpand也会给出数值结果，但我不相信它。似乎采用导数假设Abs在真实域中，然后在数字/复杂参数中替换。也就是说，如果你知道你所做的一切都是真的，那么ComplexExpand就是你的朋友。

Answer 2

我建议您将this线程视为可能相关 - 此问题已在之前讨论过。为了总结我的答案，Abs通常用复数来定义。一旦你指定你的论证是真实的，它就有效：

 In[1]:= FullSimplify[Abs'[x], Assumptions -> {Element[x, Reals]}] 

 Out[1]= Sign[x]

Answer 3

即使您使用的是精确数量，也可以使用FunctionExpand强制获取数字：

Abs'[Pi/4] // FunctionExpand
Abs'[-1] // FunctionExpand

我不知道以下原因：

In:= Abs'[0] // FunctionExpand
Out= 0