3D点到3D线的最短距离

Question

我有一条由两点构成的线AB：

A:      "X": 3609859.464
        "Y": -288646.389
        "Z": 5232776.002

B:      "X": 3627454.491,
        "Y": -273763.234,
        "Z": 5222031.489

我还有一个具有以下坐标的Xn点：

        "X": 3626785.577,
        "Y": -274291.458,
        "Z": 5222356.006

如何计算Xn到AB的最短距离？

如果有人已经可以使用它，我最终将在excel电子表格中使用它！

非常感谢。

Answer 1

制作矢量AB和AX

AB.x = B.x - A.x
AB.y = B.y - A.y
AB.z = B.z - A.z
and similar for AX

使用标量（点）乘积查找X在AB线上的投影

P = A + AB * (AB.dot.AX) / (AB.dot.AX)
where 
AB.dot.AX = AB.x * AX.x + AB.y * AX.y + AB.z * AX.z

所需距离是矢量XP的长度

Answer 2

使用AB上的移动点，平方距离为

(XA + t AB)²

区别t，我们取消了导数

(XA + t AB) AB = 0

或

t = - XA.AB / AB².

这给我们最小的平方距离

(XA - (XA.AB / AB²) AB)² = XA² - 2 (XA.AB)²/AB² + (XA.AB)²/AB² = XA² - (XA.AB)²/AB².