Question

假设我们得到了一个数字N，它是一个正整数2 <= N <= 10^9。
我们需要找到两个整数A和B，以便 -(A+B) = N, and LCM(A,B) is Minimum possible.
例如，如果N = 9 then A = 3, B = 6是唯一有效的答案。

我现在想的是

如果N is even，则A,B将是N/2。
如果N为奇数，则A,B将等于A is a perfect factor of B and A+B = N。

我需要知道的

Am i doing right ?
Did i miss something ?
Is there any better solution for this ?

Answer 1

查找LCM最小的A，B与查找GCD最大的A，B相同。最大可能的GCD是N的最大因子（不包括N本身）。

因此，如果K是N的最大因子，则A = K，B = K *（N / K-1）是一种解决方案。所有解的形式均为A = jK，B = K（N / K-j），其中1 <= j

通过在[2，sqrt（N）]中找到将N除以最小的i，可以找到sqrt（N）时间中N的最大因数；那么最大的因素就是N / i。

例如，最大因数9（不包括9本身）是3，因此A = 3，B = 3 *（3-1）= 6。

Answer 2

我相信简单的数学。

您给出的提示非常重要。

案例1：

如果N为偶数=> A = N / 2，则B = N / 2

案例2：

如果N是素数=> A = 1，B = N-1；

案例3：

如果N是奇数=>这很棘手。

现在，如果A + B = N，则A的最大值（考虑A <= B）为N/2。

此外，为了最小化 A和B的LCM，LCM(A, B) = max(A, B) = B .... eq（1）

A + B = N .... eq（2）

B = d * A，其中d是任意正整数（来自eq（1））.... eq（3）

将eq（3）替换为eq（2），我们得到

A + d * A = N

A（1 + d）= N

A = N /（d + 1）.... eq（4）

现在，目标是最小化LCM =>，这又是最小化max（A，B）= B

如果要最小化B，则需要最大化A（根据eq（4））

要最大化A，我们需要最小化（d + 1）。

因此，(d+1) = D = smallest factor of N，其中（D）> = 3且d = D-1。

最终答案，A = N /（d + 1），B = d * A

看看下面的实现对Codeforces做出了接受的判决：

#include <iostream>
#include <string>
#include <cmath>

typedef long long int LL;

bool isPrime(LL n)
{
    for(LL i = 2 ; i <= sqrt(n) ; i++ )
        if(n%i==0)return false;
    return true;
}


int main()
{
    int t;
    std::cin >> t; 

    while(t--){
        
        LL n, A, B;
        std::cin>>n;

        if( n % 2LL == 0 ) { 
            A = n/2LL ;
            B = n/2LL ; 
        }
        else if(isPrime(n)) {
            A = 1LL ;
            B = n-1LL ; 
        }
        else{
            
            LL D;
            for(LL i = 3; i <= sqrt(n) ; i++ )
            {
                if( n % i == 0) { 
                    D = i; 
                    break; 
                }
            }
            LL d = D - 1LL;
            A = n/(d+1LL);
            B = d*A;
        }

        std::cout<<A<<" "<<B<<std::endl;
    }
    return 0;
}

Answer 3

通过@Paul Hankin使用上述方法终于提出了解决方案，非常感谢。

C ++ 14解决方案。

ll n,A,B; cin >> n; // long long
        if( n % 2 == 0 ) { A = n/2 ; B = n/2 ; }
        else if(isprime(n)) { A = 1 ; B = n-1 ; }
        else
        {
            ll K;
            for(ll i = 3; i <= sqrt(n) ; i++ )
            {
                if( n % i == 0) { K = n/i ; break; }
            }
            A = K, B = n-K;
        }

以上程序中使用的素数检查功能

bool isprime(ll n)
{
    for( ll i = 2 ; i <= sqrt(n) ; i++ )
        if(n%i==0)return false;
    return true;
}

对于此LCM问题是否有更好的解决方案？

3 个答案: