Question

我正在研究一种数据挖掘算法，我想从特征空间的特定点中选择一个随机方向。

如果我从[-1,1]中为每个n维选择一个随机数，然后将矢量标准化为长度1，我将在所有可能的方向上得到均匀分布？

我在理论上只是在这里说，因为计算机生成的随机数实际上并不是随机的。

Answer 1

一个简单的技巧是从高斯分布中选择每个维度，然后进行标准化：

from random import gauss

def make_rand_vector(dims):
    vec = [gauss(0, 1) for i in range(dims)]
    mag = sum(x**2 for x in vec) ** .5
    return [x/mag for x in vec]

例如，如果您想要一个7维随机向量，请选择7个随机值（来自高斯分布，平均值为0，标准差为1）。然后，使用毕达哥拉斯公式计算得到的向量的大小（每个值的平方，加上正方形，并取结果的平方根）。最后，将每个值除以幅度，以获得归一化的随机向量。

如果您的维度数量很大，那么这样做有很大好处，可以立即使用，同时生成随机向量，直到找到一个大小小于1的向量，这会导致您的计算机只是挂在十几个维度上左右，因为任何一个资格的概率都变得非常小。

Answer 2

您将无法使用所描述的算法获得均匀分布的角度集合。角度将偏向n维超立方体的角落。

可以通过消除原点距离大于1的任何点来解决此问题。然后你要处理一个球形而不是一个立方体（n维）的体积，然后你的角度集应该均匀地分布在样本空间上。

伪代码：

令n为维数，K为所需向量数：

vec_count=0
while vec_count < K
   generate n uniformly distributed values a[0..n-1] over [-1, 1]
   r_squared = sum over i=0,n-1 of a[i]^2
   if 0 < r_squared <= 1.0
      b[i] = a[i]/sqrt(r_squared)  ; normalize to length of 1
      add vector b[0..n-1] to output list
      vec_count = vec_count + 1
   else
      reject this sample
end while

Answer 3

在开发ML算法时，我有完全相同的问题在得到2-d案例的样本并绘制出角度的分布后，我得到了与Jim Lewis相同的结论。

此外，如果你试图从[-1,1]中随机抽取x轴和y轴时在2d中得出方向的密度分布，你会看到：

f_X(x) = 1/(4*cos²(x)) 如果0＆lt; x＆lt; 45⁰
和
f_X(x) = 1/(4*sin²(x)) 如果x＆gt; 45⁰

其中x是角度，f_X是概率密度分布。

我在这里写过： https://aerodatablog.wordpress.com/2018/01/14/random-hyperplanes/

Answer 4

从正态分布中采样的算法有一个加速实现：random::uniform_on_sphere

Answer 5

#define SCL1 (M_SQRT2/2)
#define SCL2 (M_SQRT2*2)

// unitrand in [-1,1].
double u = SCL1 * unitrand();
double v = SCL1 * unitrand();
double w = SCL2 * sqrt(1.0 - u*u - v*v);

double x = w * u;
double y = w * v;
double z = 1.0 - 2.0 * (u*u + v*v);

多维空间中的随机单位向量

5 个答案: