如何定义与函数相互递归的归纳类型？

Question

我想定义一个归纳类型Foo，构造函数接受一些属性作为参数。我希望这些属性取决于我当前定义的类型的归纳参数。我希望能够使用某些bar类型的递归函数Foo从这些属性中收集它们的一些数据。但是，我不知道一种声明这两个方法的方式，以便Coq接受它们的定义。我希望能够编写如下内容：

Inductive Foo : Set (* or Type *) :=
| Foo1 : forall f : Foo, bar f = 1 -> Foo
| Foo2 : forall f : Foo,  bar f = 2 -> Foo
| Foon : nat -> Foo
with bar (f : Foo) : nat := 
  match f with
  | Foo1 _ _ => 1
  | Foo2 _ _ => 2
  | Foon n => S n
  end.

通常，with是处理相互递归的方法，但是，我所见过的所有将两个定义同时使用的示例都以Inductive或同时以Fixpoint开头。这样的相互递归甚至有可能吗？

Answer 1

这种定义被称为“归纳递归”。不幸的是，Coq不支持该功能，但如果我没有记错的话，Agda定理证明器也支持该功能。