Question

我在Coq玩，试图创建一个排序列表。我只是想要一个带有列表[1,2,3,2,4]的函数，并返回类似Sorted [1,2,3,4]的函数 - 即取出坏部分，但实际上并没有对整个列表进行排序。

我想我会先定义lesseq类型的函数(m n : nat) -> option (m <= n)，然后我可以非常轻松地模拟匹配。也许这是一个坏主意。

我现在遇到的问题的关键是（片段，底部的整个功能）

Fixpoint lesseq (m n : nat) : option (m <= n) :=
    match m with
        | 0 => match n with
            | 0 => Some (le_n 0)
            ...

不是类型检查;它说它期待option (m <= n)，但Some (le_n 0)的类型为option (0 <= 0)。我不明白，因为在这种情况下显然m和n都是零，但我不知道如何告诉Coq。

整个功能是：

Fixpoint lesseq (m n : nat) : option (m <= n) :=
    match m with
    | 0 => match n with
        | 0 => Some (le_n 0)
        | S n_  => None
        end
    | S m_  => match n with
        | 0 => None
        | S _   => match lesseq m_ n with
                | Some x=> le_S m n x
                | None  => None
                end
            end
    end.

也许我已经领先于自己，只需要在解决之前继续阅读。

Answer 1

你可能想要定义以下函数（即使你正确地注释它[le_S m n x]没有你想要的类型）：

     Fixpoint lesseq (m n : nat) : option (m <= n) :=
     match n with
     | 0 =>
         match m with
         | 0 => Some (le_n 0)
         | S m0 => None
         end
     | S p =>
         match lesseq m p with
         | Some l => Some (le_S m p l)
         | None => None
         end
     end.

但正如你所注意到的那样，类型检查员并不聪明地猜测当你破坏出现在类型中的变量时的新上下文结果。您必须按以下方式注释匹配：

     Fixpoint lesseq (m n : nat) : option (m <= n) :=
     match n return (option (m <= n)) with
     | 0 =>
         match m return (option (m <= 0)) with
         | 0 => Some (le_n 0)
         | S m0 => None
         end
     | S p =>
         match lesseq m p with
         | Some l => Some (le_S m p l)
         | None => None
         end
     end.

如果您真的想了解模式，请参阅参考手册匹配与依赖类型一起使用。如果你不够勇敢为此，你宁愿使用战术机制来建立你的证据（“精炼”策略是一个很好的工具）。

     Definition lesseq m n : option (m <= n).
     refine (fix lesseq (m : nat) (n : nat) {struct n} := _).

     destruct n.
     destruct m.
     apply Some; apply le_n.
     apply None.

     destruct (lesseq m n).
     apply Some.
     apply le_S.
     assumption.
     apply None.
     Defined.

顺便说一句，我认为你的功能不会真正有用（即使这是一个好主意），因为你需要证明以下引理：引理lesseq_complete： forall m n，lesseq m n＆lt;＆gt;无 - ＆gt; m> ñ。

这就是人们使用Coq.Arith.Compare_dec的原因。玩得开心。

Answer 2

你想把这个功能写成练习还是只是为了实现更大的目标？在后一种情况下，你应该看看标准库，它充满了可以在这里完成工作的决策函数，Coq.Arith.Compare_dec;例如，见le_gt_dec。

另请注意，您建议的功能只会向您提供m <= n的信息。对于模式匹配，总和类型{ ... } + { ... }更有用，为您提供两种可能的处理方式。

模式匹配不是专业类型

2 个答案: