Question

今天我正在寻找当地信息学奥林匹克运动会的最新考试，我发现了一个有趣的问题。简而言之，它要求给定一个整数数组，计算它有多少个反转，其中反转是一对标记i，j，i > j和A[i] < A[j] 。非正式地，反转的数量是无序的对的数量。最初我做了一个O(n²)解决方案（是的，天真的解决方案），但是看到它不适合输入的大小，我想到了更多的问题然后我意识到它可以做到这一点在O(n log n)时间内，通过合并排序的变体来处理输入的大小。

但是看到输入约束（n之间的1 and M整数，并且没有重复），我想知道我的解决方案是否是最优的，或者你知道是否有任何其他解决方案来解决这个问题节拍O(n log n)运行时？

Answer 1

由于Chan and Patrascu，文献中的最佳结果是O（n√（log n））算法。不知道常数。

Answer 2

据我所知，

O（n log n）是最好的。

这里给出了详细的解释：

http://www.geeksforgeeks.org/counting-inversions/

Answer 3

如果我们假设用于表示整数的位数是常数（比如32或64位），则可以在O（N）时间内解决。

这是一个示例python实现。

http://ideone.com/g57O87


def inv_count(a, m=(1<<32)):
  if not m or not a:
      return 0
  count = 0
  ones = []
  zeros = []
  for n in a:
    if n & m:
      ones.append(n & ~m)
    else:
      count += len(ones)
      zeros.append(n & ~m)
  m /= 2
  return count + inv_count(ones, m) + inv_count(zeros, m)

print inv_count([1, 2, 3, 4, 5])
print inv_count([5, 4, 3, 2, 1])

我们能够实现低于O（N x Log（N））的时间复杂度，因为我们使用非比较排序算法背后的思想，即基数排序，以获得计数。

int数组的最优反演计数

3 个答案: