Question

我正在尝试在区间V=0上求解无限大势阱[0,L]的TISE。练习使我们知道，波函数及其在0处的导数的值分别为0,1。这使我们可以使用scipy.integrate.odeint函数来解决给定能量值的问题。

现在的任务是在python上使用根查找函数，在给定L处的波函数为0的进一步边界条件的情况下，找到能量特征值。我已经进行了一些研究，只能找到一种称为“射击方法”的东西，但我无法弄清楚如何实现。另外，我遇到了solve BVP scipy函数，但是我似乎无法理解该函数的第二个输入（边界条件残差）到底是什么

m_el   = 9.1094e-31      # mass of electron in [kg]
hbar   = 1.0546e-34      # Planck's constant over 2 pi [Js]
e_el   = 1.6022e-19      # electron charge in [C]
L_bohr = 5.2918e-11      # Bohr radius [m]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint

def eqn(y, x, energy):              #array of first order ODE's     
    y0 = y[1]
    y1 = -2*m_el*energy*y[0]/hbar**2

    return np.array([y0,y1])

def solve(energy, func):           #use of odeint
    p0 = 0
    dp0 = 1
    x = np.linspace(0,L_bohr,1000)
    init = np.array([p0,dp0])
    ysolve = odeint(func, init, x, args=(energy,))
    return ysolve[-1,0]

此处的方法是将eqn作为func输入到solve（energy，func）中。 L_bohr是此问题中的L值。我们正在尝试使用scipy方法在数值上找到能量本征值

Answer 1

对于其他所有求解器，请使用自变量顺序x,y，甚至在odeint中，也可以通过提供选项tfirst=True使用此顺序。因此更改为

def eqn(x, y, energy):              #array of first order ODE's     
    y0, y1 = y
    y2 = -2*m_el*energy*y0/hbar**2

    return [y1,y2]

对于BVP求解器，您必须将能量参数视为具有零导数的额外状态分量，因此增加了第三个时隙在边界条件下。 Scipy的bvp_solve允许将其保留为参数，让你得到

def bc(y0, yL, E):
    return [ y0[0], y0[1]-1, yL[0] ]

接下来构造一个接近可疑基态的初始状态并调用求解器

x0 = np.linspace(0,L_bohr,6);
y0 = [ x0*(1-x0/L_bohr), 1-2*x0/L_bohr ]
E0 = 134*e_el

sol = solve_bvp(eqn, bc, x0, y0, p=[E0])
print(sol.message, "  E=", sol.p[0]/e_el," eV")

然后生成情节

x = np.linspace(0,L_bohr,1000)
plt.plot(x/L_bohr, sol.sol(x)[0]/L_bohr,'-+', ms=1)
plt.grid()

The algorithm converged to the desired accuracy. E= 134.29310361903723 eV

如何在python上解决TISE的简单边值问题

1 个答案: