Question

所以现在我正在使用SAT解决最小顶点覆盖问题，这是我对图形G的编码= {V，E}具有k个顶点覆盖，这是这些子句：

Let n = sizeof(V);

首先，在顶点覆盖层中至少有一个顶点：

For i in {1..k}
    Add clause (x<1,i> ∨ x<2,i> ∨ ··· ∨ x<n,i>);

然后，没有一个顶点可以在顶点覆盖中出现两次：

For j in {1..n}
    For l and m in {1..k} with l < m
        Add clause (¬x<j,l> ∨ ¬x<j,m>)

此后，顶点覆盖中的特定位置只能出现一个顶点：

For j in {1..k}
    For l and m in {1..n} with l < m
        Add clause (¬x<l,j> ∨ ¬x<m,j>)

最后，顶点覆盖中的至少一个顶点应该来自边缘：

For i and j in each edge e from E
    Add clause (x<i,1> ∨ x<i,2> ∨ ... ∨ x<i,k> ∨ x<j,1> ∨ ... ∨ x<j,k>)

现在，我可以通过使用这种编码来获得最小的顶点覆盖，但是效率很差。对于只有<20个顶点的任何图形，我都只能得到结果，否则要花几分钟和几个小时才能得到结果。我现在正在考虑将其从SAT进一步减少到3SAT。但是看起来我不能简单地将所有子句从nCNF更改为3CNF以获得相同的结果。谁能帮我弄清楚下一步该怎么做？我需要全新的编码吗？

非常感谢您。

顺便说一句，我正在使用MiniSAT作为求解器。

Answer 1

首先，让我假设在理解您的编码时遇到一些麻烦，因此我将从头开始。这就是我要解决这个问题的方式。

注意：我的示例基于SMT-LIB语法，可以使用 MaxSMT 求解器进行求解，例如z3和{ {3}}。但是，由于它不使用任何SMT功能，因此您实际上可以使用 MaxSAT 比赛中使用的optimathsat编写相同的内容。在选择求解器来解决问题时，这将为您提供更多选择。我可能是错的，但是我推测 MaxSAT 求解器在此特定问题上的性能可能会优于 MaxSMT 。

让G = {V，E}为图。

首先，为图形中的每个顶点声明一个布尔变量：

(declare-fun vertex_1 () Bool)
...
(declare-fun vertex_K () Bool)

（任何没有边的顶点都应该省略，因为那样会浪费时间。）

第二，为图中连接顶点i和顶点j的每个边声明一个布尔变量（假定无向）

(declare-fun edge_i_j () Bool)
...

第三，断言必须edge_i_j覆盖每个边缘：

(assert edge_i_j)
...

第四，如果覆盖了边缘edge_i_j，则顶点i或顶点j必须为true：

(assert (=> edge_i_j (or vertex_i vertex_j)))
...

第五，对于每个带有 soft子句的断言，vertex_i应该为vertex_i。如果不是这种情况，请对false的值收取价值1的罚款：

cover

最后，解决问题：

(assert-soft (not vertex_i) :weight 1 :id cover)

在这一点上，可以使用任何高效的 MaxSAT / MaxSMT 引擎（例如the standard WCNF format）来获得一个模型，该模型可以覆盖使用时的所有边缘最少数量的顶点（如果有）。

如何通过SAT和优化解决顶点覆盖问题？

1 个答案: