Question

我正试图找到一个球体和一条线之间的交点，但老实说，我不知道该怎么做。有人可以帮我这个吗？

Answer 1

将该行表示为t：

的函数

{ x(t) = x0*(1-t) + t*x1
{ y(t) = y0*(1-t) + t*y1
{ z(t) = z0*(1-t) + t*z1

t = 0时，它将位于一个终点(x0,y0,z0)。当t = 1时，它将位于另一个终点(x1,y1,z1)。

在t（(xc,yc,zc)是球体的中心）中写出距球体中心的距离公式（平方）：

f(t) = (x(t) - xc)^2 + (y(t) - yc)^2 + (z(t) - zc)^2

当t等于f(t)（R^2是球体的半径）时，求解R：

(x(t) - xc)^2 + (y(t) - yc)^2 + (z(t) - zc)^2 = R^2

A = (x0-xc)^2 + (y0-yc)^2 + (z0-zc)^2 - R^2
B = (x1-xc)^2 + (y1-yc)^2 + (z1-zc)^2 - A - C - R^2
C = (x0-x1)^2 + (y0-y1)^2 + (z0-z1)^2

为A + B*t + C*t^2 = 0解决t。这是正常的quadratic equation。

您最多可以获得两种解决方案。 t介于0和1之间的任何解决方案都是有效的。

如果您获得了t的有效解决方案，请将其插入第一个方程式以获得交叉点。

我认为你的意思是一个线段（两个端点）。如果你想要一个完整的线（无限长度），那么你可以沿着线选择两个点（不是太近），并使用它们。同时让t为任何实际值，而不仅仅是0到1之间。

修改：我修改了B的公式。我正在混淆迹象。谢谢M Katz提到它不起作用。

Answer 2

我相信Markus Jarderot解决方案存在不准确之处。不确定问题是什么，但我很确定我忠实地将它翻译成代码，当我试图找到已知交叉到球体的线段的交集时，我得到了否定的判别（没有解决方案）。 / p>

我发现了这个：http://www.codeproject.com/Articles/19799/Simple-Ray-Tracing-in-C-Part-II-Triangles-Intersec，它提供了类似但略有不同的推导。

我将其转换为以下C＃代码，它适用于我：

    public static Point3D[] FindLineSphereIntersections( Point3D linePoint0, Point3D linePoint1, Point3D circleCenter, double circleRadius )
    {
        // http://www.codeproject.com/Articles/19799/Simple-Ray-Tracing-in-C-Part-II-Triangles-Intersec

        double cx = circleCenter.X;
        double cy = circleCenter.Y;
        double cz = circleCenter.Z;

        double px = linePoint0.X;
        double py = linePoint0.Y;
        double pz = linePoint0.Z;

        double vx = linePoint1.X - px;
        double vy = linePoint1.Y - py;
        double vz = linePoint1.Z - pz;

        double A = vx * vx + vy * vy + vz * vz;
        double B = 2.0 * (px * vx + py * vy + pz * vz - vx * cx - vy * cy - vz * cz);
        double C = px * px - 2 * px * cx + cx * cx + py * py - 2 * py * cy + cy * cy +
                   pz * pz - 2 * pz * cz + cz * cz - circleRadius * circleRadius;

        // discriminant
        double D = B * B - 4 * A * C;

        if ( D < 0 )
        {
            return new Point3D[ 0 ];
        }

        double t1 = ( -B - Math.Sqrt ( D ) ) / ( 2.0 * A );

        Point3D solution1 = new Point3D( linePoint0.X * ( 1 - t1 ) + t1 * linePoint1.X,
                                         linePoint0.Y * ( 1 - t1 ) + t1 * linePoint1.Y,
                                         linePoint0.Z * ( 1 - t1 ) + t1 * linePoint1.Z );
        if ( D == 0 )
        {
            return new Point3D[] { solution1 };
        }

        double t2 = ( -B + Math.Sqrt( D ) ) / ( 2.0 * A );
        Point3D solution2 = new Point3D( linePoint0.X * ( 1 - t2 ) + t2 * linePoint1.X,
                                         linePoint0.Y * ( 1 - t2 ) + t2 * linePoint1.Y,
                                         linePoint0.Z * ( 1 - t2 ) + t2 * linePoint1.Z );

        // prefer a solution that's on the line segment itself

        if ( Math.Abs( t1 - 0.5 ) < Math.Abs( t2 - 0.5 ) )
        {
            return new Point3D[] { solution1, solution2 };
        }

        return new Point3D[] { solution2, solution1 };
    }

Answer 3

没有足够的声誉来评论M Katz的回答，但他的回答是假设该线可以在每个方向无限地继续。如果只需要SEGMENT的交叉点，则需要t1和t2小于1（基于参数化方程的定义）。请在下面的C＃中查看我的答案：

        public static Point3D[] FindLineSphereIntersections(Point3D linePoint0, Point3D linePoint1, Point3D circleCenter, double circleRadius)
    {

        double cx = circleCenter.X;
        double cy = circleCenter.Y;
        double cz = circleCenter.Z;

        double px = linePoint0.X;
        double py = linePoint0.Y;
        double pz = linePoint0.Z;

        double vx = linePoint1.X - px;
        double vy = linePoint1.Y - py;
        double vz = linePoint1.Z - pz;

        double A = vx * vx + vy * vy + vz * vz;
        double B = 2.0 * (px * vx + py * vy + pz * vz - vx * cx - vy * cy - vz * cz);
        double C = px * px - 2 * px * cx + cx * cx + py * py - 2 * py * cy + cy * cy +
                   pz * pz - 2 * pz * cz + cz * cz - circleRadius * circleRadius;

        // discriminant
        double D = B * B - 4 * A * C;

        double t1 = (-B - Math.Sqrt(D)) / (2.0 * A);

        Point3D solution1 = new Point3D(linePoint0.X * (1 - t1) + t1 * linePoint1.X,
                                         linePoint0.Y * (1 - t1) + t1 * linePoint1.Y,
                                         linePoint0.Z * (1 - t1) + t1 * linePoint1.Z);

        double t2 = (-B + Math.Sqrt(D)) / (2.0 * A);
        Point3D solution2 = new Point3D(linePoint0.X * (1 - t2) + t2 * linePoint1.X,
                                         linePoint0.Y * (1 - t2) + t2 * linePoint1.Y,
                                         linePoint0.Z * (1 - t2) + t2 * linePoint1.Z);

        if (D < 0 || t1 > 1 || t2 >1)
        {
            return new Point3D[0];
        }
        else if (D == 0)
        {
            return new [] { solution1 };
        }
        else
        {
            return new [] { solution1, solution2 };
        }
    }

Answer 4

查找“光线球体交叉点” - 在光线跟踪中一直使用相同的测试，并且在线有大量示例，甚至在堆栈溢出时也是quite a few here。

Answer 5

您可以使用Wolfram Alpha在球体居中的坐标系中求解它。

在这个系统中，方程是：

球体：

     x^2 + y^2 + z^2 = r^2

直线：

    x = x0 + Cos[x1] t
    y = y0 + Cos[y1] t
    z = z0 + Cos[z1] t

Then we ask Wolfram Alpha to solve for t :(试试吧！）

然后您可以再次更改为原始坐标系（简单翻译）

Answer 6

在（x，y，z）中找到描述直线和球体的两个方程的解。

可能有0,1或2个解决方案。

0表示它们不相交
1表示该线是球体的切线
2表示线穿过球体。

Answer 7

这里使用内部产品，少于100个LOC，没有外部链接，这是一个更简洁的表述。此外，还询问了一条线，而不是线段。

假设球体以C为中心，半径为r。该行由P+l*D D*D=1描述。 P和C是积分，D是向量，l是数字。

我们设置了PC = P-C，pd = PC*D和s = pd*pd - PC*PC + r*r。如果s < 0没有解决方案，如果s == 0只有一个，否则有两个。对于我们设置l = -pd +- sqrt(s)的解决方案，然后插入P+l*D。

Answer 8

或者你可以找到两者的公式：
line：(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c，它们是您可以找到的点之间的线段的对称方程球体：(x-xc)^2+(y-yc)^2+(z-zc)^2 = R^2。

使用对称方程找到x和y以及x和z之间的关系。

然后用x表示y和z到球体的等式中然后找到x，然后你就可以找到y和z。

如果x给出了一个虚构的结果，这意味着线和球体不相交。

Answer 9

我没有对Ashavsky的解决方案发表评论的声誉，但最后的检查需要更多调整。

if (D < 0)
    return new Point3D[0];
else if ((t1 > 1 || t1 < 0) && (t2 > 1 || t2 < 0))
    return new Point3D[0];
else if (!(t1 > 1 || t1 < 0) && (t2 > 1 || t2 < 0))
    return new [] { solution1 };
else if ((t1 > 1 || t1 < 0) && !(t2 > 1 || t2 < 0))
    return new [] { solution2 };
else if (D == 0)
    return new [] { solution1 };
else
    return new [] { solution1, solution2 };

线与球体之间的交点

9 个答案: