为什么此算法在O（n log n）中运行？

Question

我们应该“考虑以下算法，该算法对整数数组A [1。。n]进行操作。”

for i in [1 . . n] do
A[i] ← 0
for i in [1 . . n] do
    j ← i
    while j ≤ n do
        A[j] ← A[j] + 1
        j ← j + i

作业要求我们证明该算法在O（n log n）中运行。

很明显，第一个循环将为运行时间添加n，只需将其删除即可。

第二个嵌套循环的运行速度比纯O（n ^ 2）算法快，因为while循环并不总是运行n次。当i = 1时，它将运行n次； i = 2时，它将运行n-1次，一直到i = n时，它将运行一次。

但是，使用与高斯求和相同的方法将1到100之间的整数相加，我们可以看到while循环将平均运行（n + 1）/ 2次。将n乘以for循环，得到（n ^ 2 + n）/ 2，可以简化为O（n ^ 2），而不是O（n log n）

这如何导致O（n log n）运行时间？

Answer 1

考虑以下几点：

for i in [1 . . n] do
    j ← i
    while j ≤ n do
        A[j] ← A[j] + 1
        j ← j + i

每次j都以+i而不是+1递增。这样，第一个while loop被迭代n次，然后被n/2，然后被n/3 ...迭代到n/n。

忽略整数舍入，我们可以按以下格式编写： n(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n)。

似乎我们正在处理一个谐波序列，并乘以n。 here和here的更多详细信息。这将是O(n log n)。