为什么（inf + 0j）* 1计算为inf + nanj？

Question

>>> (float('inf')+0j)*1
(inf+nanj)

为什么？这在我的代码中造成了一个讨厌的错误。

为什么1不是(inf + 0j)，而是赋予{{1}}？

Answer 1

首先将1转换为复数1 + 0j，然后将其转换为inf * 0乘积，从而得到nan。

(inf + 0j) * 1
(inf + 0j) * (1 + 0j)
inf * 1  + inf * 0j  + 0j * 1 + 0j * 0j
#          ^ this is where it comes from
inf  + nan j  + 0j - 0
inf  + nan j

Answer 2

从机械上讲，公认的答案当然是正确的，但我认为可以给出更深的答案。

首先，将问题澄清为 @PeterCordes在评论中确实如此：“是否存在用于 确实适用于inf + 0j的复数？” 或换句话说，什么是OP 看到计算机实现复杂乘法的弱点，或者 inf+0j

在概念上有些不完善

简短答案：

使用极坐标，我们可以将复数乘法视为缩放和旋转。即使将无限个“手臂”旋转0度（如乘以1的情况），我们也无法期望将其尖端以有限的精度放置。 因此，确实存在inf+0j根本不正确的东西，即 一旦我们达到无穷远，有限的偏移就变得毫无意义。

长答案：

背景：这个问题所围绕的“大事情”就是问题 扩展数字系统（考虑实数或复数）。一个理由 一个人可能想做的就是添加一些无限的概念，或者 如果碰巧是数学家，则“压缩”。还有其他 原因（https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory，https://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis），但我们对此处的内容不感兴趣。

单点压实

关于这种扩展的棘手之处当然是我们想要这些新的 数字以适合现有的算法。最简单的方法是添加一个 无穷大的单个元素 （https://en.wikipedia.org/wiki/Alexandroff_extension），并使其等于零除以零。这适用于 实数（https://en.wikipedia.org/wiki/Projectively_extended_real_line）和复数（https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sphere）。

其他扩展名...

虽然单点压缩是简单的并且在数学上是合理的，但是已经寻求了包括多个无限量的“更丰富”的扩展。实际浮点数的IEEE 754标准具有+ inf和-inf（https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line）。看起来 自然而直接，但已经迫使我们跳了圈 发明诸如-0 https://en.wikipedia.org/wiki/Signed_zero

之类的东西

...复杂平面的

复杂平面的不止一个inf扩展如何？

在计算机中，复数通常是通过将两个fp实数放在一起而实现的，一个实数，一个虚数部分。只要一切都是有限的，那是完全可以的。但是，一旦考虑到无限性，事情就会变得棘手。

复杂平面具有自然的旋转对称性，这与复杂的运算法则很好地结合在一起，因为整个平面乘以e ^ phij与围绕0的绕弧旋转相同。

那个附件G物

现在，为了简单起见，复杂的fp仅使用基础实数实现的扩展名（+/- inf，nan等）。这种选择似乎很自然，甚至没有被认为是一种选择，但让我们仔细看看它的含义。复杂平面的这种扩展的简单可视化效果类似于（I =无限，f =有限，0 = 0）

I IIIIIIIII I

I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I ffff0ffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I

I IIIIIIIII I

但是由于真正的复平面是尊重复数乘法的平面，因此会有更多信息的投影

     III    
 I         I  
    fffff    
   fffffff   
  fffffffff  
I fffffffff I
I ffff0ffff I
I fffffffff I
  fffffffff  
   fffffff   
    fffff    
 I         I 
     III    

在此投影中，我们看到无限大的“不均匀分布”不仅丑陋，而且是OP这类问题的根源：大多数无限大（形式（+/- inf，有限）和（有限度（+/- inf）集中在四个主要方向上，所有其他方向仅由四个无限度（+/- inf，+ -inf）表示。将复数乘法扩展到此几何体并不奇怪是一场噩梦。

C99规范的附件G尽其最大努力，包括制定关于inf和nan如何交互（本质上是inf胜过nan）的规则。 OP的问题是通过不将实数和纯虚构类型提倡为复数来避开的，但是让实数1与复数1的行为不同并不能解决我的问题。可以说，附件G没有充分说明两个无限性的乘积应该是什么。

我们能做得更好吗？

尝试通过选择更好的无限性几何来尝试解决这些问题。类似于扩展的实线，我们可以为每个方向添加一个无穷大。此构造类似于投影平面，但不会将相反的方向聚集在一起。 无穷将以极坐标inf x e ^ {2 omega pi i}表示， 定义产品将很简单。特别是OP的问题将很自然地解决。

但这是好消息结束的地方。在某种程度上，我们可以不拘一格地（而不是无理地）要求我们的新式无限性支持提取其实部或虚部的函数。加法是另一个问题。添加两个非对映的无穷大，我们必须将角度设置为未定义，即nan（一个人可能会说该角度必须位于两个输入角度之间，但是没有简单的方式来表示“部分南极”）< / p>

里曼来营救

鉴于所有这些，也许最好的做法是老旧的一点压实。也许附录G的作者在强制将所有无限性集中在一起的函数cproj时有同样的感觉。

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a related question在此主题上比我更有能力的人回答。

Answer 3

这是在CPython中如何实现复杂乘法的实现细节。与其他语言（例如C或C ++）不同，CPython采用了一种较为简单的方法：

1. 整数/浮点数被乘以复数
2. 简单的school-formula is used，一旦涉及到无限数，它就不会提供期望/预期的结果：

Py_complex
_Py_c_prod(Py_complex a, Py_complex b)
{
    Py_complex r;
    r.real = a.real*b.real - a.imag*b.imag;
    r.imag = a.real*b.imag + a.imag*b.real;
    return r;
}

上述代码的一个有问题的情况是：

(0.0+1.0*j)*(inf+inf*j) = (0.0*inf-1*inf)+(0.0*inf+1.0*inf)j
                        =  nan + nan*j

但是，有人希望将-inf + inf*j作为结果。

在这方面，其他语言并不遥不可及：复数乘法长期以来一直不是C标准的一部分，仅作为附录G包含在C99中，该附录G描述了应如何执行复数乘法，但并非如此。就像上面的学校公式一样简单！ C ++标准没有指定复杂乘法的工作方式，因此大多数编译器实现都回落到C实现上，这可能是C99兼容（gcc，clang）或不兼容（MSVC）。

对于上述“有问题”的示例，符合C99的实现（比学校公式高more complicated）会给（see live）预期结果：

(0.0+1.0*j)*(inf+inf*j) = -inf + inf*j 

即使使用C99标准，也没有为所有输入定义明确的结果，即使对于符合C99的版本也可能有所不同。

在C99中未将float提升为complex的另一个副作用是将inf+0.0j与1.0或1.0+0.0j相乘会导致不同的结果（请参见这里直播）：

• (inf+0.0j)*1.0 = inf+0.0j
• (inf+0.0j)*(1.0+0.0j) = inf-nanj，虚部是-nan而不是nan（对于CPython）在这里不起作用，因为所有安静的nan都是等效的（请参阅this ），甚至其中一些设置了符号位（因此打印为“-”，请参见this），而另一些则没有。

至少是违反直觉的。

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我的主要收获是：“简单”的复数乘法（或除法）并不简单，当在语言或什至是编译器之间切换时，人们必须为微妙的错误/差异做好准备。

Answer 4

Python的有趣定义。如果我们用笔和纸解决此问题，我会说预期结果将是expected: (inf + 0j)，正如您所指出的，因为我们知道我们指的是1的规范，所以(float('inf')+0j)*1 =should= ('inf'+0j)：

但是事实并非如此……运行时，我们得到：

>>> Complex( float('inf') , 0j ) * 1
result: (inf + nanj)

Python将此*1理解为复数而不是1的范数，因此它解释为*(1+0j)，并且当我们尝试将inf * 0j = nanj理解为{时，会出现错误{1}}无法解决。

您实际上想做什么（假设1是1的范数）：

回想一下，如果inf*0是具有实部x和虚部y的复数，则z = x + iy的复共轭定义为z，并且绝对值也称为z* = x − iy定义为：

假设norm of z是1的准则，我们应该做类似的事情：

1

我知道不是很直观...但是有时编码语言的定义方式与我们日常使用的方式不同。