Question

我有一个函数，可以给我一对自然数。
每对都由其序列号标识，例如sr1=(1,25) sr2=(26,50) sr3=(51,75)。
平均数为25。然后，我还有另一个函数，可为我提供每对第一对和第二对之间存在的自然数的列表，例如l1=[1,2,......25] l2=[26,27...50]。

我想证明，如果对的序列号不同，则列表中不会重复任何元素。因此，配对是互斥的。

Lemma lgroups: forall sn1 sn2 avg, 
S sn1 < S sn2 -> 
avg =? 0  = false ->
(S sn1 * avg <? S sn2 * avg - (avg - 1) = true)

Proof. intros. induction sn1 .  rewrite mult_1_l.
simpl. induction sn2. simpl. rewrite plus1_0_r.
destruct avg. inversion H0. inversion H .

Answer 1

对我而言，上下文还不是很清楚，但是我可以回答证明给定引理的问题。

首先，此类引理通常不会使用布尔运算来陈述，而是使用它们的命题对应物来陈述。这样会得到这样的结果。

Lemma lgroups: forall sn1 sn2 avg,
  S sn1 < S sn2 -> 
  avg <> 0 ->
  S sn1 * avg < S sn2 * avg - (avg - 1).

第二，在处理自然数时，我一般也倾向于使用+代替-，因为由于没有负数，自然数的行为有点不自然。我认为，在您的情况下，这也更有意义，因为它正确表达了直观的陈述“当前序列的最后一个元素小于随后出现的第一个元素”，而我对此的含义还不清楚您的原始声明。

Lemma lgroups: forall sn1 sn2 avg,
  S sn1 < S sn2 -> 
  avg <> 0 ->
  S sn1 * avg + avg - 1 < S sn2 * avg.

第三，我也将S放到任何地方，因为结果在这种情况下也成立并且严格。

Lemma lgroups: forall sn1 sn2 avg,
  sn1 < sn2 -> 
  avg <> 0 ->
  sn1 * avg + avg - 1 < sn2 * avg.

对于证明，这种简单的算术证明实际上可以通过某些策略自动证明，特别是Micromega中的策略nia。

这最终给出：

Require Import Lia.

Lemma lgroups: forall sn1 sn2 avg,
  sn1 < sn2 -> 
  avg <> 0 ->
  sn1 * avg + avg - 1 < sn2 * avg.
Proof.
  intros. nia.
Qed.

互斥的自然数对

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