二次方程的不稳定性

Question

我试图了解求解与（b）项相比（4ac）项较小的二次方程时出现的精度损失。

我知道我们要减去彼此接近的数字，结果接近于零。但是，如果我们始终以相同的非常小的数字（接近于零）为目标，那么我不十分清楚为什么要使用替代算法来计算该解决方案。我浏览了有关此问题的Wikipedia文章，但我不明白。谁能为我的问题提供更多的见解或资源，让我更好地理解它？

非常感谢您的帮助。

Answer 1

在经典的二次公式中，（− b ±sqrt（ b ² −4 ac ）） /（2 a ），当4 ac 小于 b ² 时，会出现问题，因为：

• 用于计算的浮点格式具有有限的宽度（精度），因此无法表示 b ² -4 ac 的准确性很高。 b ² 强制将小数位（指数）设置为高，因此格式的低位处于较高的小数位，并且无法表示4的低值。 ac 很好。
• 相对于 b ² −4 ac ，此错误较小，但是当sqrt（ b < sup> 2 −4 ac ）添加到负数- b 或从正数- b 减去前导位取消，产生较小的结果，相对于较小的结果，误差可能很大。

另一方面，方程式的另一种解决方案是从（正）平方根加到正的- b 或从负的- b减去它得到的。 -不会遇到此问题。它是一个较大的数字，大约为-2 b ，因此sqrt（ b ² -4 ac ）相对而言较小。

因此，建议是先计算此解决方案 x ₁ ，然后使用它来找到解决方案 x ₂ = c /（ ax ₁ ）。